13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.19. Shartli ekstremum
13.19.1. Umumiy mulohazalar

Endi, n+m ta o‘zgaruvchili funksiya ekstremumi haqidagi masalani, o‘zgaruvchilar yana m ta

(13.19.1)
bog‘lanish tenglamalarini qanoatlantiradi degan faraz asosida tekshiraylik. Bunday shartli ekstremum haqidagi masalani aniqlab, uni izlash usullarini beramiz.
Agar


tengsizlik, nuqtaning biror atrofidagi (13.19.1) bog‘lanish tenglamalarini qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar uchun bajarilsa, bog‘lanish tenlamalarini qanoatlantiruvchi nuqtada funksiya shartli maksimum (minimum) ga ega deb ataladi.
Bu yerda f funksiya, shuningdek, funksiyalar ham qaralayotgan nuqta atrofida barcha argumentlari bo‘yicha uzluksiz xususiy hosilalarga ega, hamda nuqtadagi xususiy hosilalardan tuzilgan Yakobining funksional
(13.19.2)
matritsasining rangi m ga teng deb faraz qilamiz.
Masalan, bu matritsaning noldan farqli m–tartibli minori
(13.19.3)
ya’ni (13.19.1) bog‘lanish tenglamalarining ga nisbatan Yakobianidan iborat bo‘lsin. Bu holda, nuqta atrofi uchun 13.18.1 – teorema shartlari bajariladi degan faraz asosida, (13.19.1) sistemaga teng kuchli bo‘lgan
(13.19.4)
sistemaga kelamiz. Bularni e’tiborga olsak, yuqorida qo‘yilgan shartli ekstremum masalasi n ta o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan
(13.19.5)
murakkab funksiyaning nuqtadagi odatdagi ekstremumi masalasiga kelib qoladi.
Bu yerda (13.19.1) ni (13.19.4) ko‘rinishga keltirmasdan ham ish ko‘rish mumkin. Buning uchun statsionar nuqtada
(13.19.6)
bajarilishini, lekin, lar (13.19.4) funksiyalarning differensiallari ekanligini nazarda tutgan holda ularni (13.19.4) dan aniqlab, (13.19.6) ga qo‘yib df ni
(13.19.7)
ko‘rinishga keltirib, so‘ngra deb tenglamalar sistemasini olish kerak bo‘ladi.
(13.19.4) funksiyalarning to‘liq differensiallarini esa, (13.19.1) sistemadan olinadigan
(13.19.8)
sistemani ga nisbatan yechish yo‘li bilan ham olish mumkin (bunday qilish mumkinligi (13.19.3) Yakobian noldan farqli ekanligidan kelib chiqadi).
Yuqorida aytilganlar faqat statsionar nuqtani topish uchunginadir. Lekin, funksiyaning yuqoridagi shartdagi eng katta va kichik qiymatlarini topish masalasida foydalidir. Bu o‘rinda quyidagi masalani keltiramiz.
Masala. Elektr bilan ta’minlanuvchi parallel ulangan to‘rni (zanjirni) tekshiraylik. 13.19.1–rasmda zanjirning sxemasi keltirilgan bo‘lib, A va B tok manbaining qisqichlari, esa tegishli toklarni sarf qiluvchi iste’molchilar. Zanjirda potensial tushishining miqdori 2e ga teng bo‘lgan holda simlarning kesimini shunday aniqlash kerakki, butun magistralga eng kam miqdorda mis sarf qilinsin.
Yechish. Simlardan birini, masalan, AA_n ni tekshirish bilan chegaralansak kifoya, chunki boshqasi ham xuddi shunga o‘xshash sharoitdadir.

13.19.1 –rasm.


orqali bo‘laklarning (m bilan o‘lchangan) uzunliklarini, bilan ularning ko‘ndalang kesim yuzlarini (mm² bilan o‘lchangan) belgilaylik.
Bu vaqtda,
(13.19.9)
zanjirning AA_n qismi uchun sarf qilingan misning (sm³ bilan o‘lchangan) hajmini beradi. AA_n simdagi umumiy potensial tushishining miqdori e ga tengligini e’tiborga olib, bu hajmning eng kam miqdorli bo‘lishiga erishish kerak.
Zanjirning qismlaridan o‘tayotgan toklarni hisoblash oson:
.
Undan tashqari, agar uzunligi 1m va ko‘ndalang kesimi 1mm² bo‘lgan mis simning qarshiligini bilan belgilasak, bu kesmalarning qarshiligi

bo‘ladi, demak, zanjirning bu kesmalarida, Om qonuniga binoan, potensiallar tegishlicha quyidagi miqdorlarda tushadi:

Bularning yig‘indisi e ga tengdir:

yoki
(13.19.10)
ni olamiz. Demak, (13.19.9) funksiyaning (13.19.10) bog‘lovchi tenglamani qanoatlantiruvchi shartli minimumini topish talab qilinadi (q₁,q₂,…, q_n larga nisbatan).
(13.19.9)dan
(13.19.11)
ni (13.19.10) dan esa,

ni va oxirgidan

ni olamiz. Buni (13.19.11) ga qo‘yib,

ga ega bo‘lamiz. Kritik nuqtada du=0 bo‘lishi kerakligidan

kelib chiqadi. Bundan esa

ekanligini olamiz. Va nihoyat,

natijaga ega bo‘lamiz. koeffitsient esa (13.19.10) dan osongina topiladi:
.