13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.18. Oshkormas funksiya

Aytaylik, n+m ta o‘zgaruvchilarga nisbatan m ta tenglamalar sistemasi

(13.18.1)
berilgan bo‘lsin. bu yerda m ta o‘zgaruvchilar n ta o‘zgaruvchilarning oshkormas funksiyalari deb faraz qilaylik. U holda (13.18.1) sistemaning chap tomonidagi funksiyalarning o‘zgaruvchilar bo‘yicha Yakobiani deb
(13.18.2)
ni qabul qilamiz.
Quyidagi tasdiq o‘rinlidir:
13.18.1-teorema. Faraz qilaylik:
1) Barcha funksiyalar markazi
nuqtada bo‘lgan (n+m) o‘lchovli

ochiq parallelepipedda aniqlangan va uzluksiz;
2) D da bu funksiyalarning barcha argumentlari bo‘yicha xususiy hosilalari mavjud va uzluksiz;
3) nuqta (13.18.1) sistemani qanoatlantiradi;
4) sistemaning J Yakobiani ((13.18.2) ga qarang) bu nuqtada noldan farqli.
Bu vaqtda:
1) nuqtaning biror atrofida (13.18.1) tenglamalar sistemasi ni ning bir qiymatli funksiyalari qilib aniqlaydi:

2) qiymatlarda bu funksiyalar mos ravishda qiymatlarni qabul qiladi:
;
3) funksiyalar uzluksiz;
4) barcha argumentlari bo‘yicha uzluksiz xususiy hosilalarga ega.
Bu teorema matematik analiz kursida isbotlangandir. Bu isbotni bu yerda keltirmay, uni isbotsiz qabul qilamiz va keyinroq bizga amaliy masalalarni hal qilishda asqotadigan oshkormas funksiyalarni differensiallash formulalarini keltirib chiqaramiz.
Agar (13.18.1) sistemada funksiyalar aniqlanib, yana uning o‘ziga qo‘yilgan deb faraz qilsak, tenglamalar ayniyatlarga aylanadi. Bu ayniyatlarni x_j bo‘yicha differensiallab,
(13.18.3)
ni olamiz. Bu xususiy hosilalarga nisbatan m nomalumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat bo‘lib, uning determinanti (13.18.2) dan, ya’ni (13.18.1) sistemaning Yakobianidan iboratdir. 13.18.1- teorema shartlari bajariladi deb faraz qilinsa, bu Yakobian noldan farqlidir, demak, (13.18.3) sistema yagona yechimga ega bo‘ladi. Bu yechimni Kramer formulalari yordamida yoki boshqa biror usul bilan topish mumkin. Bu ishni uchun bajarib, funksiyalarning barcha argumentlari bo‘yicha xususiy hosilalari topiladi.
1-misol
(13.18.4)
sistemada a va b lar berilgan sonlar bo‘lib, z va y lar x va u o‘zgaruvchilarning funksiyalari. Bu funksiyalarning xususiy hosilalari topilsin.