13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.16. Ko‘p o‘zgaruvchi funksiyaning eng kichik va
eng katta qiymatlari

Faraz qilaylik, funksiya chegaralangan yopiq n o‘lchovli sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin; bundan tashqari, u sohaning ayrim nuqtalaridan boshqa barcha nuqtalarida chekli xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Veyershtrasning teoremasiga asosan bu sohada shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya o‘zining eng katta (yoki eng kichik) qiymatiga erishadi. Agar D sohaning ichki nuqtasi bo‘lsa, funksiya shu nuqtada maksimum (yoki minimumga) ega. demak, bu holda bizni qiziqtirgan nuqta ekstremumga “gumonli” nuqtalar orasida bo‘ladi. Biroq, u funksiya o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatiga sohaning chegarasida ham erishishi mumkin. Shu sababli, funksiyaning D sohadagi ekstremumga “gumonli” barcha ichki nuqtalarini topib, funksiyaning shu nuqtalardagi qiymatlarini sohaning chegaraviy nuqtalardagi qiymatlari bilan solishtirish kerak; bu qiymatlarning eng kattasi (yoki eng kichigi) funksiyaning butun yopiq sohadagi eng katta (yoki eng kichik) qiymati bo‘ladi.
Aytilganlarni misollar bilan tushuntiramiz.
1 -masala. R radiusli doiraga ichki chizilgan uchburchaklar orasida yuzi eng kattasi topilsin.
Yechish. Agar uchburchakning tomonlariga
tiralgan markaziy burchaklarni orqali
belgilasak, ular uchun munosabat
o‘rinlidir (13.16.1-rasm). Bundan .
Uburchakning S yuzi ular orqali quyidagicha
ifodalanadi:
;
x va y ning o‘zgarish sohasi ushbu shartlar bilan aniqlanadi:
(13.16.2-rasm).
Bu sohaning ichki nuqtasidan iborat
bo‘lgan S funksiyaning statsionar
nuqtasini topaylik. Buning uchun
uning

xususiy hosilalarini nolga tenglab,
quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

Bu sistemani yechib, 13.16.2-rasmda ifodalangan sohaning ichida bo‘lgan statsionar nuqtani topamiz.
; uchburchakning yuzi ga tengdir. Soha chegarasida ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Bundan ko‘rinadiki, bo‘lib, uchburchak muntazam bo‘lgan holda u eng katta yuzaga ega bo‘lar ekan.
2-masala. Perimetri berilgan 2P ga teng bo‘lgan uchburchaklar orasida eng kata S yuzaga ega bo‘lgani topilsin.