13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.11. Funksiyaning berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosilasi va gradienti

Bu yerda ham soddalik uchun uch o‘lchovli D sohada anqlangan uch o‘zgaruvchili funksiyani qaraymiz. Shu bilan birga qaralayotgan uch o‘lchovli fazoda biror yo‘nalish berilgan deb faraz qilamiz. Agar D sohaning tayinlangan nuqtasini yo‘nalish bo‘yicha nuqtaga qo‘zg‘atsak va bunda kesma D sohada to‘lig‘icha yotadi deb faraz qilsak, shu yo‘nalish bo‘yicha funksiya orttirmasiga ega bo‘lamiz. Endi M nuqta ga yo‘nalishni saqlagan holda cheksiz yaqinlasha borsin. Agar

limit mavjud bo‘lsa, bu limit ning M₀ nuqtadagi yo‘nalish bo‘yicha hosilasi deb ataladi va
yoki
kabi belgilanadi. Bu yo‘nalish bo‘yicha hosila berilgan yo‘nalish bo‘yicha funksiyaning «o‘zgarish tezligi» dan iborat ekanligini payqash qiyin emasdir.
Bu o‘rinda xususiy hosilalarni mos ravishda Ox, Oy, Oz o‘qlarining yo‘nalishi bo‘yicha hosilalar ekanligini aytamiz.
Endi yo‘nalish koordinatalar o‘qlari bilan

burchaklar tashkil qiladi deylik (13.11.1-rasm), hamda funksiya M₀ nuqtada barcha argumentlari bo‘yicha xususiy hosilaga ega bo‘lsin. U holda
(13.11.1)
o‘rinlidir. Buni isbotlash uchun deb olsak,

bo‘ladi, ya’ni yo‘nalishga ega bo‘lgan M₀M kesma nuqtalari uchun

parametrik tenglamalarni olamiz va ularni funksiyaga qo‘yib, t ning murakkab funksiyasiga ega bo‘lamiz. Boshlang‘ich M₀ nuqta t=0 ga mos kelishi ayondir. Shunday qilib, hosila mavjud bo‘lsa,
(13.11.2)
bajariladi. hosila ga qo‘yilgan talab asosida mavjud bo‘lib, to‘la hosila formulasiga ko‘ra

Oxirgida t=0 deb, (13.11.2) dan (13.11.1) ni olish qiyin emas.
Endi yo‘nalish bo‘yicha hosila funksiyaning shu berilgan yo‘nalish bo‘yicha «o‘zgarish tezligi» ekanligini e’tiborga olgan holda berilgan nuqtada funksiya qaysi yo‘nalish bo‘yicha eng tez o‘sadi, degan savolni qo‘yaylik. Bu savol qaralayotgan nuqtada funksiyaning barcha xususiy hosilalari nolga teng bo‘lgan hol uchun o‘z ma’nosini yo‘qotadi. Chunki bunday nuqtada istalgan yo‘nalish bo‘yicha hosilalar nolga tengdir. Demak, xususiy hosilalardan aqalli bittasi noldan farqli bo‘lgan holni qarash lozim bo‘ladi.

belgilashlarini kiritsak, shart bajarilishini talab qilamiz.



13.11.1-rasm.
vektorni kiritaylik. Agar yo‘nalishni birlik vektor deb qabul qilsak, u holda (13.11.1) ni

ko‘rinishda yozish mumkinligi va skalyar ko‘paytma xossasiga asosan oxirgidan
(13.11.3)
o‘rinli ekanligini olamiz. (13.11.3) dan agar bo‘lsa, uning o‘ng tomonidagi proeksiya eng katta qiymatga erishishi kelib chiqadi. Demak, funksiyaning yo‘nalish bo‘yicha hosilasi eng kata bo‘lib, bu yo‘nalish bo‘yicha funksiya eng tez o‘sib borar ekan. Kiritilgan vektorni funksiyaning qaralayotgan nuqtadagi gradienti deb qabul qilinadi.
Funksiyaning berilgan nuqtadagi gradienti deb, koordinatalari shu nuqtadagi funksiyaning mos xususiy hosilalaridan iborat vektorga aytiladi va kabi belgilanadi.
Demak,

bo‘lib, bu vektor berilgan nuqtada funksiyaning eng tez o‘sish yo‘nalishidan iboratdir. Bu o‘rinda funksiya gradientiga qarama-qarshi yo‘nalish bo‘yicha hosila uning eng tez kamayish yo‘nalishi bo‘lishini ham aytamiz.
Funksiya gradientini koordinalar o‘qlarining ortlari bo‘yicha

ko‘rinishda yoziladi.
Uch o‘zgaruvchili funksiyaning qaralayotgan M₀ nuqtadagi gradienti (u mavjud va noldan farqli degan faraz asosida) bu funksiyaning M₀ nuqtaga mos satx sirtiga shu nuqtada normal vektordan iborat bo‘lishi, ya’ni sirtga tik yo‘nalgan bo‘lishi isbotlangandir (13.11.2_b-rasm). Ikki o‘zgaouvchili funksiya uchun uning gradienti satx chizig‘iga tikdir (13.11.2_a-rasm).

13.11.2-rasm.