13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.3. n o‘lchovli fazoda ketma-ketlik va uning limiti
Aytaylik, da nuqtalar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin. U holda, sonli ketma-ketlikdagi kabi nuqtalar ketma-ketligining limiti tushunchasini kiritish mumkin bo‘lib, R da ekanligini e’tiborga olinsa yetarlidir.
Agar da nuqtalar ketma-ketligi berilgan bo‘lib, uchun shunday mavjud bo‘lsaki, uchun bajarilsa, nuqta ketma-ketlikning limiti deyiladi va yoki kabi belgilanadi.
Bu yerda nuqtalar ketma-ketligi limitga ega, ya’ni
(13.3.1)
bo‘lsa,
(13.3.2)
ekanligi va, aksincha, (13.3.2) o‘rinli bo‘lsa, (13.3.1) ham o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi (buni isbotlashni o‘quvchiga tavsiya qilamiz).
Agar (13.3.2) da limitlarning barchasi chekli bo‘lsa, nuqtalar ketma-ketligi yaqinlashuvchi deyiladi. Boshqacha aytganda, nuqtalar ketma-ketligining yaqinlashuvchi bo‘lishi n ta ketma-ketliklarning barchasi yaqinlashuvchi bo‘lishi bilan teng kuchlidir. Shu sababli, sonli ketma-ketliklarda ko‘rilgan barcha xossalar bu yerda ham o‘rinlidir.
1-misol. nuqtalar ketma-ketligining limiti topilsin.
Yechish. ekanligidan

kelib chiqadi.
2-misol. topilsin.
Yechish.

Demak,
Bu yerda ekanligi va birinchi ajoyib limit hisobga olindi.


13.4. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiyaning ta’rifi

Aytaylik, da n o‘lchovli D to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar nuqta bo‘lsa, uning n ta koordinatalari borligi, ya’ni ekanligini eslatamiz.

13.4.1-ta’rif. Agar da berilgan n o‘lchovli D to‘plamning har bir M nuqtasiga u sonli o‘zgaruvchining aniq bitta qiymati mos qo‘yilgan bo‘lsa, u ni n o‘lchovli D to‘plamda aniqlangan funksiya deyiladi va
(13.4.1)
kabi belgilanadi. D to‘plam funksiyaning aniqlanish sohasi, u ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari to‘plami esa, o‘zgarish sohasi deb yuritiladi.
(13.4.1) ga e’tibor bersak, u n o‘lchovli D to‘plamdan olingan M nuqtaning funksiyasi sifatida yozilgandir. Agar n o‘lchovli to‘plam nuqtasi ekanligini hisobga olsak, (13.4.1) ni
(13.4.2)
ko‘rinishda ham yozish mumkin. Bu yozuvda u funksiya nechta o‘zgaruvchiga bog‘liq ekanligi yaqqol ko‘rinadi. Shu sababli, (13.4.2) ko‘rinishda yozilgan holda bu funksiyani n o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya deyilib, lar uning argumentlari deb yuritiladi.
Biz, asosan, ikki va uch argumentli funksiyalar bilan ish yuritamiz. Shu sababli, an’anaviy belgilashlarni saqlab qolamiz:
ikki o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya uchun
, (13.4.3)
bu yerda x va y lar argumentlar, z esa funksiyadir;
uch o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya uchun
, (13.4.4)
bu yerda x , y va z lar argumentlar, u esa funksiyadir.
Masalan, to‘g‘ri burchakli uchburchak katetlarini x va y , gipotenuzasini esa z bilan belgilasak, Pifagor teoremasiga asosan
, (13.4.5)
ya’ni (13.4.3) ko‘rinishdagi ikki argumentli; agar to‘g‘ri burchakli paralelepipedning uch o‘lchovini x,y,z bilan, diagonalini esa u bilan belgilasak,
, (13.4.6)
ya’ni (13.4.4) ko‘rinishdagi uch argumentli funksiyaga ega bo‘lamiz.
Yuqorida keltirilgan misollarda, ularning
geometrik ma’nolaridan kelib chiqib, aniqlanish
va o‘zgarish sohalarini topish mumkin.
(13.4.5) funksiya uchun x va y lar to‘g‘ri burchakli
uchburchakning katetlari, z esa uning gipotenuzasi
ekanligidan bo‘lishi kerakdir. Demak,
(13.4.5) funksiyaninganiqlanish sohasi
to‘plamdan, ya’ni 13.4.1-rasmda ko‘rsatilgan
koordinatalar tekisligining birinchi choragi ichki nuqtalaridan iboratdir. O‘zgarish sohasi esa ekanligi (13.4.5) ning o‘zidan kelib chiqadi.
Xuddi shunga o‘xshash, (13.4.6) funksiya uchun x,y,z to‘g‘ri burchakli paralelepipedning uch o‘lchovi va u uning diagonali ekanligi sababli, aniqlanish sohasi to‘plam, ya’ni koordinatalar fazosi birinchi oktantasining ichki nuqtalari, o‘zgarish sohasi esa dir.