13-bob. Ko‘p o‘zgaruvchili (argumentli) funksiya

13.5. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti

Agar n o‘lchovli to‘plamda funksiya berilgan bo‘lib, M₀ nuqta D ning quyuqlik nuqtasi bo‘lsa, funksiyaning bu nuqtadagi limiti tushunchasini quyidagicha kiritiladi.

13.5.1-ta’rif. Agar M₀ nuqta D to‘plamning quyuqlik nuqtasi bo‘lib, son uchun shunday son mavjud bo‘lsaki, M₀ nuqtaning yaqin atrofidan olingan nuqtalarda, ya’ni to‘plamda
(13.5.1)
o‘rinli bo‘lsa, b son f(M) funksiyaning dagi yoki M₀ nuqtadagi limiti deyiladi, hamda
(13.5.2)
kabi yoziladi.
Agar M nuqta n o‘lchovli to‘plamda ( da) ekanligi ma’lum bo‘lsa,

belgilash ishlatilishi mumukinligidan va bu vaqtda

ekanligidan (13.5.1) o‘rniga
(13.5.3)
kabi yoziladi.
Agar funksiya M₀ nuqtaning yaqin atrofida aniqlangan bo‘lsa, funksiya limiti ta’rifidan uning limiti M nuqtaning nuqtaga intilish yo‘liga (qanday chiziq bo‘ylab intilishiga) bog‘liq bo‘lmasligi kelib chiqadi.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti ta’rifi bir o‘zgaruvchili funksiyaning limiti ta’rifi bilan aynan bir xilligidan limitlar haqidagi (9-bob) teoremalar va xossalar hamda asosiy formulalar bu yerda ham o‘rinlidir.
Masalan,

ekanligini ko‘rish qiyin emas, chunki, va limit ostidagi funksiya nuqta yaqin atrofida aniqlangan bo‘lib, birinchi ajoyib limitga ko‘ra yuqoridagi tenglik kelib chiqadi.
Agar ta’rifdagi (13.5.1) o‘rnida tengstzlik ishlatilsa, kabi belgilanib, M₀
nuqtada cheksiz katta funksiya ta’rifini olamiz.
Bu yerda funksiyaning limiti tushunchasidan tashqari uning takroriy limitlari tushunchasi ham mavjud ekanini aytamiz. Bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun keltiramiz (soddalik uchun).
- nuqtadagi funksiya limiti;
va lar esa takroriy limitlardir.
Masalan, takroriy limitni topishda, avval, x tayinlangan (o‘zgarmas) va deb faraz qilib, topiladi (agar mavjud bo‘lsa), so‘ngra, limit topiladi (mavjud bo‘lsa). da esa, avval, , keyin topiladi.
Bu yerda shuni ham takidlaymizki, ning mavjudligidan takroriy limitlarning mavjud ekanligi hamma vaqt ham kelib chiqavermaydi. Buning aksinchasi ham hamma vaqt o‘rinli bo‘lavermaydi.
Masalan: 1) funksiya koordinatalar boshida aniqlanmagan bo‘lib, tekislikning boshqa barcha nuqtalarida mavjuddir. Uning O(0 ;0) nuqtadagi limitlarini qaraylik.

Ammo, - mavjud emas. Buni ko‘rsatish uchun intilish to‘g‘ri chiziq bo‘ylab deb faraz qilsak, u vaqtda,
bo‘lib, turli k larda turli qiymatlar kelib chiqadi. Ya’ni limit M nuqtaning O(0; 0) nuqtaga intilish chizig‘iga bog‘liqdir. Agar mavjud bo‘lganda intilish qanday bo‘lishiga bog‘liq bo‘lmasligi kerak edi. Demak, limit mavjud emas ekan.
2) funksiyani olsak, u sohada aniqlangandir. Bu funksiyaning nuqtadagi limitini va takroriy limitlarini tekshirib ko‘raylik:
a) - limit mavjud, chunki,
b)
c) - mavjud emas, chunki, bo‘lganda, tayinlangan x uchun - mavjud emasdir.
Funksiyaning limiti va uning takroriy limitlarining orasidagi munosabatni aniqlovchi quyidagi teorema isbotlangandir (soddalik uchun uni ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun keltiramiz).
13.5.1-teorema. Agar 1) chekli yoki cheksiz

limit mavjud va 2) y argumentning b ga yetarlicha yaqin qiymatlari uchun

limit mavjud bo‘lsa, u vaqtda, takroriy

limit ham mavjud va A ga teng bo‘ladi.
Bu teoremani isbotsiz qabul qilamiz. Uni matematik analiz kursidan o‘rganish mumkin.
Shunday qilib, funksiya limitini topishda, avvalo, 13.5.1-teorema shartining bajarilishini tekshirib ko‘rib, agar ular bajarilsa, so‘ngra limitni hisoblash uchun takroriy limitlardan foydalanish mumkin ekan degan xulosaga kelamiz.
Yana ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning argumentlaridan ayrimlari (hammasi bo‘lishi ham mumkin) cheksizga, qolganlari esa chekli songa intilgandagi limiti tushunchasini ham kiritish qiyin emas. Soddalik uchun bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ko‘raylik.
Aytaylik, funksiyaning aniqlanish sohasi ning nuqtasining birinchi koordinatasi x absolyut qiymat jixatdan xoxlagancha katta qiymat qabul qila olsin, ikkinchisi y esa b songa yaqinlashsin. U vaqtda, ning quyuqlik nuqtasi deyishga shartlashib olgan holda quyidagi ta’rifni berish mumkin.
Agar funksiyaning aniqlanish sohasi ning quyuqlik nuqtasi bo‘lib, uchun shunday sonlar topilsaki, tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqta uchun o‘rinli bo‘lsa, A son ning quyuqlik nuqtasidagi funksiyaning limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Agar bu ta’rifda o‘rnida tengsizlik ishlatilsa, va nihoyat, o‘rnida tengsizlik ishlatilsa, A o‘rnida
yoziladi.
Xuddi shunga o‘xshash, ning yoki quyuqlik nuqtasidagi funksiyaning limiti tushunchasi ham kiritiladi.