14-ma’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital qoidasi. Teylor va Makloren formulalari

4-Teorema (Koshi). Agar 

     va      funksiyalar 

1) 

       kesmada uzluksiz; 

2) 

       oraliqda differensiallanuvchi; 

3) 

       oraliqda hosila  

 

        bo„lsa,  

u holda 

       oraliqda kamida bitta shunday   nuqta topiladiki, bu nuqta uchun 

           

           

 

 

 

   

 

 

   

 

          

(5) 

tenglik o„rinli bo„ladi va bu u Koshi formulasi deb ataladi. 

► Teorema shartidan                ,  aks holda      va      teng bo„ladi va Roll 

teoremasiga ko„ra  

 

    hosila        oraliqning kamida bitta nuqtasida nolga aylanadi, 

bu esa Koshi teoremasining 3) shartiga ziddir. Shunday qilib (5) tenglik ma‟noga ega. 

Endi uning 

       oraliqdan olingan birorta   uchun o„rinli ekanligini ko„rsatamiz. 

                    

           

           

(           ) 

(6) 

𝑓 𝑎  

𝑓 𝑏  

𝐴 

𝐵 

𝐶 

𝐷

 

 

𝐷

 

 

𝑂 

𝑎 

𝑐

 

 

𝑐

 

 

𝑏  𝑥 

𝑦 

6-rasm 

---

yordamchi  funksiyani  tuzamiz.  Bu  funksiya  Roll  teoremasining  barcha  shartlarini 

qanoatlantiradi. Haqiqatdan ham: 

1) 

      funksiya          kesmada  uzluksiz,  chunki        va        funksiyalar  bu 

kesmada uzluksiz; 

2)   

      funksiya          oraliqda  differensiallanuvchi,  chunki  (5)  tenglikning 

o„ng tomonidagi har bir qo„shiluvchi bu oraliqda differensiallanuvchi; 

3) bevosita o„rniga qo„yib                 ekanligiga amin bo„lamiz. 

Bu  funksiyaga  Roll  teoremasini  qo„llab,     va     nuqtalar  oralig„ida   

 

        

tenglikni qanoatlantiruvchi 

  nuqta mavjud deb xulosa chiqaramiz. (6) tenglikka ko„ra 

 

 

       

 

     

           

           

 

 

     

shuning uchun 

 

 

     

           

           

 

 

         

So„ngi tenglikning ikkala tomonini  

 

    noldan farqli hosilaga bo„lib 

 

 

   

 

 

   

 

           

           

 

talab qilingan tenglikni hosil qildik. ◄ 

 

Lagranj  teoremasi  Koshi  teoremasining  xususiy  holi,  chunki  Koshi  teoremasida 

         deb olinsa Lagranj teoremasi hosil bo„ladi. 

Mulohaza.  Roll,  Lagranj  va  Koshi  teoremalarida  u  yoki  bu  tenglik  o„rinli  bo„ladigan 

qandaydir 

           “o„rta nuqta” xususida so„z boradi. Shuning uchun bu teoremalar 

guruhini  differensial  hisobning  o„rta  qiymatlar  haqidai  teoremalari  deb  nomlash 

mumkin.