14-ma’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital qoidasi. Teylor va Makloren formulalari

Chekli ayirmalar formulasi 

3-Teorema  (Lagranj).  Agar 

          funksiya          kesmada  uzluksiz,         

oraliqda  differensiallanuvchi  bo„lsa,  u  holda          oraliqda  kamida  bitta  shunday    

nuqta topiladiki, bu nuqta uchun 

           

     

   

 

    

          

formula o„rinli bo„ladi. 

► 

                     

           

     

        

(1) 

tenglik  bilan 

        kesmada  aniqlangan        yordamchi  funksiyani  kiritamiz.  Bu 

funksiya 

        kesmada  Roll  teoremasining  barcha  shartlarini  qanoatlantiradi. 

Haqiqatdan ham, u 

       kesmada uzluksiz, chunki (1) tenglikning o„ng tomonidagi har 

bir qo„shiluvchi uzluksiz.      funksiyani aniqlagan har bir qo„shiluvchi        oraliqda 

differensiallanuvchi  bo„lganligi  tufayli 

      funksiyaning  o„zi  ham  bu  oraliqda 

differensiallanuvchi.  Nihoyat 

        kesmaning  chetki  nuqtalarida                  

teng qiymatlarni qabul qiladi. 

 

Roll teoremasiga ko„ra,         oraliqda   

 

     hosila nolga  aylanadigan    kamida 

bitta  

           nuqta mavjud:  

 

       . Bu tenglikni (1) orqali ifodalaymiz 

 

 

       

 

     

           

     

     

Bundan esa  

           

     

   

 

    

             ◄ 

 

Roll teoremasi Lagranj teoremasining 

            bo„lgandagi xususiy holi.  

Endi Lagranj teoremasining geometrik talqinini ko„raylik. 6-rasmda 

           

     

 

  

  

 

𝑦   𝑓 𝑥  

𝑦 

𝑥 

𝑂 

  

𝑎      

𝑏     

4-rasm 

5-rasm 

𝑓 𝑏  

𝑓 𝑎  

𝑎 

𝑏 

𝑐 

𝑥

 

 

𝑥 

𝑦 

𝑂 

---

nisbat 

    vatarning  burchak  koeffisiyenti,   

 

     hosila  esa            egri  chiziqqa 

abssissasi 

       bo„lgan  nuqtada  o„tkazilgan  urinmaning  burchak  koeffisiyenti. 

Shunday  qilib,  ixtiyoriy  nuqtasida  urinma  o„tkazish  mumkin  bo„lgan  egri  chiziqning 

   

̌

 yoyida kamida bitta shunday            nuqta topiladiki, bu nuqtada egri chiziqqa 

o„tkazilgan urinma    vatarga parallel bo„ladi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Isbotlangan 

         

   

   

 

    formula, yoki 

               

 

                                           (2) 

Lagranj formulasi yoki chekli ayirmalar formulasi deb yuritiladi. 

 

  sonini (umuman olganda,   va   sonlar oralig„ida yotgan noma‟lum son) 

                    

ko'rinishda  ifodalash  ba‟zan  qulay  bo„ladi,  bu  yerda     ushbu             tengsizlikni 

qanoatlantiruvchi qandaydir son. U holda (2) Lagranj formulasi 

               

 

(               )                                  (3) 

shaklni oladi. 

  va   o„rniga mos ravishda   va        olib, Lagranj formulasini 

                            

 

                            (4) 

ko„rinishda  yozamiz.  Bu  tenglik  argumentning  ixtiyoriy      orttirmasida  funksiyaning 

orttirmasi  uchun 

         

 

       taqribiy  tenglik  o„rniga  aniq  ifodani  beradi.  (4) 

formuladagi 

  umuman olganda noma‟lum son.