14-ma’ruza. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida ba’zi bir teoremalar. Lopital qoidasi. Teylor va Makloren formulalari
Download 0.88 Mb. Pdf ko'rish
|
14-ma’ruza
- Bu sahifa navigatsiya:
- Differensiallanuvchi funksiya uchun Teylor formulasi.
- Ba’zi elementar funksiyalarni Makloren formulasi bo‘yicha yoyish
|
5-Teorema (Lopitall qoidasi).
va funksiyalar nuqtaning biror ̇
o„yiq atrofida
va hosilalrga ega va bu atrofda va
funksiyalar nolga aylanmasin. Agar
va
va hosilalarning
nisbati nuqtada chekli yoki cheksiz limitga ega bo„lsa, u holda bu funksiaylarning nisbati ham bu nuqtada limitga ega va
(7)
tenglik o„rinli bo„ladi.
(7) tenglik Lopitall qoidasini ifodalaydi. Bu qoidaga ko„ra funksiyalar nisbatning limitini (ma‟lum shartlar o„rinli bo„lganda) bu funksiyalar hosilalari nisbatining limiti bilan almashtirish mumkin. 2-Misol. Limitni hisoblang:
1-Mulohaza. Agar teoremaning sharti faqat yoki oraliqda o„rinli bo„lsa, (7) formulani
yoki
limitni hisoblashga qo„llash mumkin. 2-Mulohaza. Agar Lopital teoremasining shartini va funksiyalargina emas, balki ularning
va
hosilalari ham qanoatlantirsa, u holda
limitni hisoblash uchun Lopital qoidasini ketm-ket ikiki marta qo„llash mumkin. Agar keyingi tartibli hosilalar ham teorema shartini qanoatlantirsa ularga ham Lopital qoidasini qo„llash mumkin.
6-Teorema (Lopitalning ikkinchi qoidasi). va funksiyalar nuqtaning o‟zi kirmagan biror ̇
atrofida va
hosilalrga ega va bu atrofda va
va
va hosilalarning
nisbati nuqtada chekli yoki cheksiz limitga ega bo„lsa, u holda bu funksiaylarning nisbati ham bu nuqtada limitga ega va
tenglik o„rinli bo„ladi.◄
Bu yerda ham yoki bo„lgandagi limitlarni qarash mumkin. 4-Misol. Limitni hisoblang:
(
) Lopital qoidasini: 1.
va
bo„lganda limitni hisoblashga qo„llash mumkin.
yoki
ko„rinishda yozib o„ng tomoniga Lopital qoidasini qo„llash mumkin. ◄ 5-Misol.
2.
va
bo„lganda limitni hisoblashga qo„llash mumkin.
nisbat shaklida ifodalash kerak va so„ngra Lopital qoidasini qo„llash kerak. ◄ 6-Misol.
(
)
( )
( )
3.
limitni hisoblashda, quyidagi uchta hollardan biri bo„lganda Lopital qoidasini qo„llash mumkin: i)
,
; ii)
,
;
iii)
,
.
►
deb olamiz, uni logarifmlab
tenglikka ega bo„lamiz. Tenglikning ikkala tomonida limitga o„tib hisoblaymiz:
Bu limitni hisoblashda i), ii), iii) uchta holning har birida 1. holda qaralganlarning mosi tanlanadi.
Faraz qilaylik, biz
limitni topdik. U holda
ya‟ni
◄ 7-Misol. Limitni toping
. ►
deb olamiz; u holda . Bu yerdan
( )
bundan esa
◄ 7-Teorema. va funksiyalar 1) o„zgaruvchining mutlaq qiymati bo„yicha yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan; 2)
yoki va
; 3) o„zgaruvchining mutlaq qiymati bo„yicha yetarlicha katta qiymatlarida
va
hosilalar mavjud; 4) funksiyalar hosilalarining (chekli yoki cheksiz)
limiti mavjud. U holda funksiyalar nisbatining ham limiti mavjud bo„ladi va
► Teoremaning to„g„riligiga ishonch hosil qilish uchun
tenglik orqali yangi o„zgartuvchi kiritib, 5.14 va 5.15-Teoremalarning natijalaridan foydalanish kerak.◄ 8-Misol. ►
◄ Teylor formulasi
Bu formula matematik tahlilning asosiy formulalaridan biri hisoblanadi va u ko„p tadbiqlarga ega. U murakkab analitik ifoda bilan berilgan funksiyani tahlil qilishga oson bo„lgan ko„phad bilan almashtirish imkonini beradi. Differensiallanuvchi funksiya uchun Teylor formulasi. funksiya nuqtada marta differensiallanuvchi bo„lsin. Bu, funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan va bu atrofda –tartibli va ungacha bo„lgan barcha tartibli hosilalarga ega va bundan tashqari bu nuqtaning o„zida tartibli
hosila mavjud degan ma‟noni anglatadi.
tartibli
(8) ko„phadni tuzamiz. Ko„rinib turibdiki, bu ko„phad, uning tartibli va ungacha bo„lgan barcha tartibli hosilalari nuqtada funksiya bilan bir xil qiymat qabul qiladi.
(8) ko„phad Teylor ko‘phadi, uning koeffisiyentlari esa Teylor koeffisiyentlari deb ataladi.
Teylor ko„phadi nuqtaning atrofida funksiyaga taqribiy yaqinlashishni beradi, ya‟ni
Bu taqribiy yaqinlashishdagi xatolikni, ya‟ni ayirmani
orqali belgilaymiz. U holda bu tenglik va belgilashlardan
∑
(9) Teylor formulasini hosil qilamiz. Bunda
Teylor formulasining qoldiq hadi deb ataladi. 9-Misol. funksiyani maxraji va birinchi hadi bo„lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig„indisi sifatida qarash mumkin, ya‟ni
(10) bunda qoldiq had
ko„rinishda bo„ladi. Endi funksiyaning Teylor koeffisiyentlarini hisoblaymiz:
va demak, barcha ̅̅̅̅̅ uchun
bo„ladi. Shunday qilib (11) formula funksiyaning Teylor yoyilmasi ekan, ◄
Quyidagi ko„rinishdagi qoldiq hadni
(11)
Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq had deb ataymiz. (9) va (11) formulalarni birlashtirib ( bo„lganda) ∑
(12)
Lagranj shaklidagi qoldiq hadli tartibli Teylor formulasini hosil qildik. Makloren formulasi. xususiy holda (9) Teylor formulasi
∑
(13)
Makloren formulasini hosil qiladi. Makloren formulasi uchun Lagranj shaklidagi qoldiq had
(14) shaklda bo„ladi. Shunday qilib (13) Makloren formulasi funksiyani nuqta atrofida tasvirlar ekan. Ba’zi elementar funksiyalarni Makloren formulasi bo‘yicha yoyish Elementar funksiyalarni Lagranj qoldiq hadli
(15)
Makloren formulasi bo„yicha yoyamiz. 1.
► ̅̅̅̅̅ uchun
,
U holda Lagranj shaklidagi qoldiq hadli (15) Makloren formulasi eksponensial funksiya uchun
∑
(16)
ko„rinishda bo„ladi. 2.
Funksiyaning va uning hosilalarining nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz:
va umuman
, bundan esa,
{
qoldiq hag esa,
(
) Demak,
funksiyaning Teylor ko„phadida o„zgaruvchining juft darajalari oldidagi koeffisiyentlar nolga aylanar ekan. Shuning uchun (15) formulada deb olsak
*
(17) 3.
Funksiyaning va uning hosilalarining nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz:
va umuman
, bundan esa
{
qoldiq hag esa
(
) Demak
funksiyaning Teylor ko„phadida o„zgaruvchining toq darajalari oldidagi koeffisiyentlar nolga aylanar ekan. Shuning uchun (15) formulada deb olsak
*
(18) Download 0.88 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|