14-mavzu: Aylanma jism hajmini hisoblash. Cheksiz va uzluksiz funksiyalarning xosmas integrallari. Reja

14-mavzu: Aylanma jism hajmini hisoblash. Cheksiz va uzluksiz funksiyalarning xosmas integrallari.
Reja:

1. 
   Chegarasi cheksiz bo`lgan xosmas integrallar.
   
2. 
   Chekli oraliqda uzilishga ega bo`lgan funksiyalarning xosmas integrallari.
   
3. 
   Yaqinlashish belgilari.
   
4. 
   Aniq integralning tatbiqlari.
   
5. 
   Aniq integralning egri chiziqli trapetsiya yuzini hisoblashga tatbiqi.
   
6. 
   Aniq integralning yoy uzunligi topish tatbiqi.
   
7. 
   Aniq integralning jism hajmini hisoblashga tatbiqi.
   

Chegarasi cheksiz bo`lgan xosmas integrallar.
Funksiyaning aniq integralini o‘rganishda integrallash oralig‘i ning chekliligi hamda funksiyaning uzluksiz bo‘lishi talab etildi. Ba’zan bu ikki talabdan biri yoki ikkilasi bajarilmay qolishi mumkin. Mana shunday hollarda funksiya integrali tushushunchasi yordamida hal qilinadigan masalalarning mavjudligi integral tushunchasining shu hollar uchun umumlashtirishni taqazo etadi.
Aytaylik, funksiya oraliqda uzluksiz bo‘lsin. U holda

integral mavjud bo‘lib, uning qiymati  ga bog‘liq bo‘ladi.
Ushbu
(1)
limit funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
.
Misol. Ushbu
xosmas integral yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Xosmas integral tushunchasiga ko‘ra

bo‘ladi.
Agar bo‘lsa

bo‘lib,

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi. ([7], 340-b.)

Agar bo‘lsa,

bo‘lib,

hosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Agar bo‘lsa

bo‘lib, qaralayotgan xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi ([7] 341-b.).

Demak,

xosmas integral bo‘lganda yaqinlashuvchi, bo‘lganda uzoqlashuvchi.
Aytaylik, funksiya da uzluksiz bo‘lishidan tashqari da bo‘lsin. U holda

(u olingan ga bog‘liq, ) ning funksiyasi sifatida o‘suvchi bo‘ladi.
Haqiqatan ham, uchun

bo‘lib,

bo‘lganligi sababli

bo‘ladi.
Bu holda ixtiyoriy uchun
( – o‘zgarmas son)
tengsizlik bajarilsa,

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Faraz qilaylik,

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lib, funksiya boshlang‘ich ga ega bo‘lsin .
U holda

bo‘ladi. Agar

deyilsa, keyingi tenglikdan
(3)
bo‘lishi kelib chiqadi.
Misol. Ushbu

integral hisoblansin.
Ravshanki, integral ostidagi

funksiya uchun

boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. (3) formuladan foydalanib topamiz:
.
Musbat funksiyaning

xosmas integrali funksiya grafigi tasvirlovchi egri chiziq, o‘qi hamda vertikal chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzini ifodalaydi.