14-mavzu: Aylanma jism hajmini hisoblash. Cheksiz va uzluksiz funksiyalarning xosmas integrallari. Reja

Aylanma jismning hajmi
Aytaylik,  funksiya da uzluksiz bo‘lib, unda bo‘lsin. Yuqoridan funksiya grafigi, yon tomonlaridan vertikal chiziqlar hamda pastdan o‘qi bilan chegaralangan tekis shaklni o‘qi atrofida aylantirishdan aylanma jism hosil bo‘ladi.
Masalan, quyidagi chizmada tasvirlangan shaklni o‘qi atrofida aylantirishdan quyidagi aylanma jism hosil bo‘ladi:

6-chizma

Bu aylanma jismning hajmi

(9)
bo‘ladi.
Misol. Radiusi  ga teng bo‘lgan shar hajmi topilsin.
Bu sharni ushbu

yarim doiraning o‘qi atrofida aylantirishidan hosil bo‘lgan jism deb qarash mumikn.
(9) formuladan foydalanib topamiz:



Aylanma sirtining yuzi
Yuqoridagidek,  da uzluksiz funksiya grafigi yoyini o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan sirtni qaraylik.
Aytaylik, qaralayotgan funksiya da uzluksiz hosilaga ega bo‘lsin. Unda aylana sirtning yuzi

bo‘ladi.
Misol. Radiusi ga teng bo‘lgan shar sirtining yuzi topilsin.
Bu sirtni

yarim aylanani o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan sirt deb qarash mumkin.
(10) formuladan foydalanib topamiz:




Nazariy sаvоllаr

1. 
   Qanday masalalarni aniq integral yordamida yechsa bo`ladi ?
   
2. 
   Aniq integral yordamida dekart koordinatalar sistemasida yuza hisoblash formulasini keltiring.
   
3. 
   Aniq integral yordamida qutb koordinatalar sistemasida yuza hisoblash formulasini keltiring.
   
4. 
   Aniq integral yordamida parametrik ko`rinishda berilgan chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblash formulasini yozing.
   
5. 
   Aniq integral yordamida yoy uzunligini hisoblash formulasini keltiring.
   
6. 
   Aniq integral yordamida aylanma jismlarning hajmini hisoblash formulasini keltiring.