14-mavzu: Aylanma jism hajmini hisoblash. Cheksiz va uzluksiz funksiyalarning xosmas integrallari. Reja

2 qadam. 1–qadamda chizilganga ko‘ra – koordinatasi bo‘yicha kesmaning yuqori qismi , kesmaning eng pastki qismi ga teng, kesma uzunligi esa . Bu formuladagi integral osti ifodasidir.
3 qadam. Integrallash chegaralarini topish uchun xarakat kesma bo‘yicha chapdan o‘ngga deb olamiz, chapda turgani quyi integrallash chegarasi, o‘ngda turgan yuqori integrallash chegarasi bo‘ladi.
Izoh. Juda ham aniq chizmani chizishni hojati yo‘q 1– qadamda, faqat egri chiziqlarning qaysi biri yuqorida joylashganligini bilish kifoya. Chizma chizishning yagona maqsadi yuqori va quyi chegaralarni bilish.
Buning uchun bir foydali fikr mavjud. Agar siz vertikal chiziq segmentini sohaning nuqtasidagi ko‘ndalang kesimi sifatida ko‘rayotgan bo‘lsangiz, formula egri chiziqlar orasidagi yuzani ko‘ndalang kesim uzunligi bo‘ylab integrallash sohasini beradi dan gacha integvalda.
Bu shaklning yuzi yuqoridagi kabi aniqlangan

yuzalar orqali quyidagi
(3)
formula bilan topiladi.
Misol. Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.
  parabola hamda to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan shakl quyidagi 3-chizmada tasvirlangan

3-chizma

Parabola va to‘g‘ri chiziq tenglamalarini sistema qilib,


so‘ng uni yechib, bo‘lishini topamiz. Endi

deb, (3) formuladan foydalanib, izlanayotgan shakl yuzi  ni topamiz:


Aniq integral yordamida tekislikdagi egri chiziqli sektor, ya'ni qutb koordinatalar sistemasida uzluksiz funksiya grafigi, nurlar bilan chegaralangan shklning yuzini ham topish mumkin. Bunday shakl yuzaga ega bo‘lib, uning yuzi ushbu
(4)
formula bilan topiladi.
Misol. Ushbu

Arximed spiralining bir marta aylanishdan hosil bo‘lgan egri chiziq hamda qutb o‘qi bilan chegaralangan shklning yuzi topilsin.
Bu holda bo‘lib, shaklning yuzi (4) formulaga ko‘ra

bo‘ladi.
 Yoy uzunligi
Yoy uzunligi masalasi.
funksiya intervalda silliq egri chiziq bo‘lsin. Ushbu intervaldagi egri chiziqning yoy uzunligi formulasini ta’riflang va toping.
Yoy uzunligi aniqlashning asosiy g‘oyasi, egri chiziqni mayda segmentlarga bo‘lib, egri chiziq segmentlarini kesmalarga taqriban almashtirib, kesmalar uzunliklari yig‘indisidan Riman yig‘indisini egri chiziqning yoy uzunligi ga yaqinlashadigan qilib tuzib olib, bu Riman yig‘indilari limiti orqali ga teng integral topish.
Bu g‘oyani amalga oshirish uchun intervalni –ta bo‘lakka bo‘lib, va orasidagi bo‘linish nuqtalarini , , ..., deymiz.
– koordinatalari , , , ..., , bo‘lgan , , ..., egri chiziqdagi nuqtalar bo‘lsin. Bu nuqtalarni kesmalar bilan tutashtiramiz va siniq chiziq hosil qilamiz (chizma 5.32. ga qarang). Ushbu siniq chiziq uzunligini egri chiziqning uzunligiga yaqinlashuvchi deb olishimiz mumkin.