14-mavzu: Aylanma jism hajmini hisoblash. Cheksiz va uzluksiz funksiyalarning xosmas integrallari. Reja

6-xossa. Agar va integrallar yaqin-lashuvchi bo‘lsa, u holda shunday o‘zgarmas topiladiki,
(3)
bo‘ladi.
◄ Aytaylik, da bo‘lsin. Unda

bo‘lib,

bo‘ladi. Bu tengsizliklardan, da limitga o‘tsak unda

bo‘lishi kelib chiqadi.
Ravshanki,

bo‘lganda (3) tenglik bajariladi.
Aytaylik,

bo‘lsin. Bu holda

bo‘ladi. Agar

deb olinsa, unda bo‘lib,

bo‘ladi.
da bo‘lganda (3) tenglikning bajari-lishi yuqoridagidek isbotlanadi. ►
Odatda, bu xossa o‘rta qiymat haqidagi teorema deyiladi.
Aytaylik, funksiya nuqtaning atrofida chegaralanmagan bo‘lsin.
Ravshanki, bu funksiya da uzluksiz va

integral ga bog‘liq bo‘ladi.
Ushbu
(4)
limit chegeralanmagan funksiyaning xosmas integrali deyiladi va quyidagicha
(5)
Belgilanadi¹:
.

Misollar. 1. Ushbu
integral topilsin.
Integral ostidagi

funksiya da uzluksiz va


 bo‘ladi. da limitga o‘tib topamiz:
.
Demak,
.
2. Ushbu

integral topilsin.
Xosmas integral tushunchasidan foydalanib topamiz:

.
Agar (4) limit mavjud bo‘lib, u chekli bo‘lsa, (5) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Masalan,

xosmas integral yaqinlashuvchi.
Agar (4) limit cheksiz yoki u mavjud bo‘lmasa (5) xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Masalan,

xosmas integral uzoqlashuvchi.
Faraz qilaylik,

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lib, da uzluksiz uchun

bo‘lsin. U holda


 bo‘ladi. Bu
(6)
formula yoqdamida xosmas integrallar hisoblanadi ([7] 344-b.).


Misol. Ushbu

integral hisoblansin.
Integral ostidagi

funksiya uchun boshlang‘ich funksiya

bo‘ladi, chunki

(6) formuladan foydalanib topamiz: