2 Глава I. Функции от сложных процентов до показательной функции

Актуальность изучения математических методов в экономике обусловлена тем, что современная экономическая теория предполагает существенно более высокий уровень формализации, чем это было принято в отечественной высшей школе.
Предметом исследования курсовой работы являются числовые функции и их свойства, практические примеры их использования в экономике.
Целью курсовой работы является рассмотрение понятия функции и применение ее в экономике.
Задачи курсовой работы:
раскрыть понятие функции;
исследовать примеры применения функций в экономике.
Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Глава I. Функции от сложных процентов до показательной функции.
1.1 Число о показательная функция и биологияю
Ещё в древнем мире было широко распространено ростовщичество – отдача денег взаймы под проценты. Крестьянин, которого постиг неурожай, ремесленник, имущество которого уничтожил пожар, разорившийся мелкий торговец были вынуждены идти к ростовщику, обещая вернуть на следующий год сумму, значительно большую, чем взятая в долг. Например, в Древнем Вавилоне ростовщики брали по 20% лихвы в год. При этом если должник не мог возвратить долг на следующий год, ему надо было платить проценты не только с занятого капитала, но и с выросших за год процентов. Поэтому через два года приходилось уплачивать не 40%, а 44% лихвы, так как 1,2²=1,44. За пять лет сумма долга увеличивалась в 1,2⁵ раз, то есть почти в 2,5 раза, а за 10 лет – более чем в 6 раз. Понятно, что большинство должников оказывались несостоятельными и, давно выплатив основную сумму долга, были вынуждены всю жизнь работать на то, чтобы платить все возраставшие проценты. В конце концов, несостоятельные должники становились рабами хищного заимодавца.
В XIV-Xv веках в Западной Европе появляются банки – учреждения. Которые давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты дальниепутешествия и завоевательные походы.¹ Чтобы облегчить расчёты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы, по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо уплатить через n лет, если была взята взаймы сумма a по p % годовых. Легко подсчитать, что уплачиваемая сумма в этом случае выражается формулой: S=a . Если p постоянно, то  является функцией от n, причём n стоит в показателе. Иными словами, такие таблицы давали значения показательной функции при различных значениях основания (различных значениях (1+ и натуральных значениях n.
Последнее ограничение было не слишком удобно: иногда деньги брались в долг не на целое число лет, а например, на 2 года 6 месяцев. Так возникла идея степени с дробным показателем.
Следует отметить, что Архимед в одной из своих работ считал отношение объёмов двух шаров полуторным для отношения их поверхностей. Это означало не то, что одно отношение в полтора раза больше другого, а то, что одно получается из другого возведением в степень

 : .

Но идея Архимеда не была понята его современниками. Лишь через полтора тысячелетия Оресм стал рассматривать возведение чисел в степени с дробными показателями и распространил на такие степени правила, которые ранее были известны лишь для натуральных показателей. А живший через сто лет после него французский математик Шюке решал такую задачу: «в сосуде имеется отверстие, через которое за сутки вытекает  его содержимого. За сколько времени вытечет половина воды?». Эта задача сводится к уравнению  решением которого является иррациональное число. Так как во времена Шюке иррациональных чисел не знали, то Шюке ограничился отысканием приближённого значения показателя -6  .

Рассматривая таблицы степеней, Оресм и Шюке, а также живший в XVI веке немецкий математик Михаил Штифель (1486-1567) заметили, что при умножении чисел показатели складываются. Дальнейшее развитие этого наблюдения привело к созданию таблиц логарифмов и антилогарифмов, то есть к рассмотрению показательной функции для достаточно густой сетки значений аргумента. Оставался лишь один шаг, чтобы ввести степени с любым действительным показателем. Этот шаг сделал в конце XVII века Исаак Ньютон. После этого Иоганн Бернулли рассмотрел степени с переменным действительным показателем, то есть ввёл показательную функцию.
Процессы выравнивания часто встречаются в биологии. Например, при испуге в крови внезапно выделяется адреналин, который потом разрушается, причём скорость разрушения примерно пропорциональна количеству этого вещества, ещё остающемуся в крови.
При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причём их количество в крови падает по показательному закону. Примером обратного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. В этом случае по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества. Как и при радиоактивном распаде, скорость распада или восстановления измеряется временем, в течение которого распадается (восстанавливается) половина вещества. Для адреналина этот период измеряется долями секунд, для вещества, выводимых почками – минутами, а для гемоглобина – днями.
Разумеется, показательный закон изменения выполняется в биологических процессах лишь приближённо, так как мы имеет здесь дело с весьма сложными системами. Кроме того, обычно процесс разрушения или восстановления состоит из нескольких стадий, каждая из них имеет свой период. Наконец, надо учитывать, что распад одного и того же вещества может совершаться по разным каналам.