2 Глава I. Функции от сложных процентов до показательной функции

1.2 Радиоактивной распад
Показательная функция у= встречается в самых различных областях науки – в физике, химии, биологии, экономике.
Рассмотрим одно из важнейших физических явлений, описание которого связано с этой функцией – радиоактивный распад. После открытия радиоактивности в опытах Беккереля возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени всегда распадается одна и та же доля наличного запаса атомов.
Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана-238 он равен 4,5 млрд. лет, для радия – 1620 лет, а для полония – 84 период полураспада равен всего 1,5*10^-4 сек.
Если период полураспада данного вещества равен Т. То через промежуток времени nТ остаётся  я доля этого вещества. Иными словами, если вначале количество вещества равнялось М, то через промежуток времени t=nT его останется  , то есть М . Формула m=M верна не только для значений t – дробных и иррациональных, положительных и отрицательных (отрицательные значения t означают, что мы ищем количество вещества за некоторое время до начала наблюдения). Из этой формулы вытекает, что за 1620000лет, то есть за тысячу периодов полураспада радия, егоколичество уменьшится в  раз, то есть более чем в  раз ( ). Если бы даже вся наша Галактика состояла из атомов радия. То их число неизмеримо меньше, чем  , и поэтому за 1620000 лет весь радий распался бы. Не следует делать вывод из сказанного, что Галактика существует меньше полутора миллионов лет – время её существования исчисляется миллиардами лет. Дело в том, что радий всё время появляется в ходе распада урана–238, а за всё время существования Земли количество урана уменьшилось всего в два раза.
Число е
Числа 2 и  кажутся вполне естественными основаниями для показательной функции, выражающей те или иные физические законы, но в теоретических исследованиях удобнее брать другое основание - особое число, введённое Эйлером и обозначаемое буквой е. Это число определяется следующим образом.
Если начертить график функции у= при различных значениях а, то видно, чем больше это основание, тем круче поднимается вверх график.

у=

у=

у=

у=10^х

у=3^х

у=2^х

Все графики пересекают ось ординат в точке С (0;1). При этом угол между осью ординат и графиком функции у= приблизительно равен 55⁰, а для кривой у= этот угол примерно равен 42⁰. Поэтому, если непрерывно увеличивать основание а от 2 до 3, то угол между осью ординат и графиком показательной функции будет уменьшаться от 55⁰ до 42⁰, и поэтому при некотором значении основания а окажется равным 45⁰. Это значение а и называется числом е.

Из выше сказанного следует, что число е заключено между числами 2 и 3. Более точные подсчёты показывают, что е=2,71828….Число е – иррационально. Более того, оно трансцендентно, то есть не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.
Логарифмы по основанию е называются натуральными и обозначают  . Таким образом, запись у= означает, что х= .
До сих пор мы рассматривали приложения тех функций, которые изучаются в школе. Их называют элементарными функциями. Но многие задачи неразрешимы в элементарных функциях. Например, с помощью таких функций нельзя выразить длину дуги эллипса, зная его полуоси а иb. Для этого нужно было бы вычислить интеграл  или интеграл вида  , к которому он сводится. Однако все попытки математиков XVIII и начала XIX веков выразить этот интеграл через такие функции, как у= , у=lnxу=sin xу=arcsin x и т.д. успеха не имели. Объяснение этому было дано лишь в середине XIX века, когда в работах великого русского учёного П.Л. Чебышева и других математиков было выяснено, в каких случаях интегралы от элементарных функций выражаются через элементарные функции², а в каких – нет.
Замечательный норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который скончался в 1982 году, не дожил до 27 лет, предложил вместо эллиптических интегралов рассматривать обратные им функции (это аналогично переходу от функций вида у=arcsin x к тригонометрическим функциям). Новые функции он назвал эллиптическими.
Естественная радиоактивность — самопроизвольный распад атомных ядер, встречающихся в природе.
Искусственная радиоактивность — самопроизвольный распад атомных ядер, полученных искусственным путём через соответствующие ядерные реакции.
Ядро, испытывающее радиоактивный распад, и ядро, возникающее в результате этого распада, называют соответственно материнским и дочерним ядрами. Изменение массового числа и заряда дочернего ядра по отношению к материнскому описывается правилом смещения Содди
Распад, сопровождающийся испусканием альфа-частиц, назвали альфа-распадом; распад, сопровождающийся испусканием бета-частиц, был назван бета-распадом (в настоящее время известно, что существуют типы бета-распада без испускания бета-частиц, однако бета-распад всегда сопровождается испусканием нейтрино или антинейтрино). Термин «гамма-распад» применяется редко; испускание ядром гамма-квантов называют обычно изомерным переходом. Гамма-излучение часто сопровождает другие типы распада, когда в результате первого этапа распада возникает дочернее ядро в возбуждённом состоянии, затем испытывающее переход в основное состояние с испусканием гамма-квантов.
Энергетические спектры α-частиц и γ-квантов, излучаемых радиоактивными ядрами, прерывистые («дискретные»), а спектр β-частиц — непрерывный.
Некоторые изотопы могут испытывать одновременно два или более видов распада. Например, висмут-212 распадается с вероятностью 64 % в таллий-208 (посредством альфа-распада) и с вероятностью 36 % в полоний 212 (посредством бета-распада).
Образовавшееся в результате радиоактивного распада дочернее ядро иногда оказывается также радиоактивным и через некоторое время тоже распадается. Процесс радиоактивного распада будет происходить до тех пор, пока не появится стабильное, то есть нерадиоактивное ядро. Последовательность таких распадов называется цепочкой распадов, а последовательность возникающих при этом нуклидов называется радиоактивным рядом. В частности, для радиоактивных рядов, начинающихся с урана-238, урана-235 и тория-232, конечными (стабильными) нуклидами являются соответственно свинец-206, свинец-207 и свинец-208.
Ядра с одинаковым массовым числом A (изобары) могут переходить друг в друга посредством бета-распада. В каждой изобарной цепочке содержится от 1 до 3 бета-стабильных нуклидов (они не могут испытывать бета-распад, однако не обязательно стабильны по отношению к другим видам радиоактивного распада). Остальные ядра изобарной цепочки бета-нестабильны; путём последовательных бета-минус- или бета-плюс-распадов они превращаются в ближайший бета-стабильный нуклид. Ядра, находящиеся в изобарной цепочке между двумя бета-стабильными нуклидами, могут испытывать и β⁻-, и β⁺-распад (или электронный захват).