2-mavzu. Kristallar simmetriyasi. (2 soat) Reja

v) Ikkinchi teorema. Inversiya markazi va juft darajali simmetriya o‘qi 
bo‘lgan shartlarni simmetriya o‘qiga tik yo‘nalish bo‘yicha simmetriya tekisligi ham 
o‘tadi. 
10-rasm. Juft darajali simmetriya o‘qi va simmetriya markazi mavjud bo‘lsa, 
bunday shaklda shu o‘qqa perpendikulyar simmetriya tekisligi ham bo‘ladi 
A
1
nuqtani, 12-rasm, kristallning uchi deb faraz qilaylik, shu nuqta ikkinchi 
darajali simmetriya o‘zi –L
2
orqali A
2
nuqtaga inversiya markazi –S orqali A
3
nuqtaga, va A
1
nuqta esa A
4
nuqtaga va kechiriladi, shunday ekan albatta inversiya 
markazi S ustidan simmetriya o‘ziga perpendikulyar yo‘nalgan simmetriya tekisligi 
R ham mavjuddir. CHunki R
1
bilan A
2
va A
3
bilan A
4
nuqtalar shu tekislikdan teng 
uzoqlikda va bir to‘g‘ri chiziq ustida yotadi, ham shu mos nuqtalarning R 
tekislikdagi proeksiyasi bir nuqtaga tushadi. Aks holda ikkinchi teoremada aytib 
o‘tilgan simmetriya elementlarining biri mavjud bo‘lmas edi. Bundan shunday 
xulosaga kelish mumkin: 
1) Kristall shakllarida inversiya markazi va shu markaz ustidan etgan 
simmetriya tekisligi bo‘lsa, u holda simmetriya tekisligi tik yo‘nalgan juft darajali 
simmetriya o‘zi ham bo‘ladi; 
2) Kristall shakllarda simmetriya tekisligi bilan shu tekislikka tik yo‘nalgan 
juft darajali simmetriya o‘zi mavjud ekan, u holda inversiya markazi ham bo‘ladi; 
3) Inversiya markazi mavjud bo‘lgan kristall shakllarida juft darajali 
simmetriya o‘qlarining soni simmetriya tekisliklarning soniga teng bo‘lib, bu 
simmetriya tekisliklarining har biri juft darajali simmetriya o‘qlariga perpendikulyar 

---

yo‘nalishda o‘tadi. 
g) Uchinchi teorema. YUkori darajali va shunga tik yo‘nalishdagi o‘tgan 
ikkinchi darajali simmetriya o‘qlari bo‘lgan kristall shakllaridagi ikkinchi darajali 
simmetriya o‘qlarining soni yuqori darajali simmetriya o‘zining darajasi soniga 
teng, masaln L
3
L
2
; 4L
2
L
4
; L
6
6 L
2
kabi bo‘ladi. 
YUqori darajali simmetriya o‘zi o‘rnida ikkinchi darajali simmetriya o‘zi 
mavjud ekan, u holda L
2 
+2L
2 
ya’ni 3L
2 
bo‘ladi va bir-biriga perpendikulyar 
yo‘nalishida o‘tadi. 
11-rasmda. YUqori darajali simmetriya o‘ziga perpendikulyar o‘tgan ikkinchi 
darajali uklarning soni shu yuqori darajali o‘qning darajasiga teng. Rasmda L
2 
soni 
6 ga teng. 
 
Savollar 
1. Simmetriya deganda nimani tushunasiz? 
2. Simmetriya elementlari nima? 
3. Inversiya markazini qanday tushuntirasiz? 
4. Simmetriya tekisligini biror bir kristall shakl yordamida tushuntiring. 
5. Elementar burchak 60
0
ga aylantirilgan nechta o‘xshash burchak hosil 
bo‘lishi mumkin? 
6. Inversion simmetriya o‘zi bilan simmetriya o‘zining farqi nimada? 
7. Eyler teoremasining tushuntirib bering.