10. Barcha nuqtalar uchun
Bu holda kvadratik forma musbat aniqlangan deyiladi.
20. Barcha nuqtalar uchun
.
Bu holda kvadratik forma manfiy aniqlangan deyiladi.
30. Ba’zan nuqtalar uchun ba’zi nuqtalar uchun
Bu holda kvadratik forma noaniq deyiladi.
40. Barcha nuqtalar uchun
va ular orasida shunday nuqtalar ham borki,
Bu holda kvadratik forma yarimmusbat aniqlangan deyiladi.
50. Barcha nuqtalar uchun
va ular orasida shunday nuqtalar ham borki,
.
Bu holda kvadratik forma yarimmanfiy aniqlangan deyiladi.
Keltirilgan hollarni alohida-alohida tahlil qilamiz:
10. Ushbu
kvadratik forma musbat aniqlangan boʻlsin. Avvalo yuqoridagi
va
tengliklardan
ekanligini topamiz. Ma’lumki, fazoda
markazi nuqtada radiusi 1 ga teng sferani ifodalaydi. Sfera yopiq va chegaralangan toʻplam. Veyershtrassning birinchi teoremasiga asosan shu sferada funksiya uzluksiz funksiya sifatida chegaralangan, xususan quyidan chegaralangan boʻladi:
Agar kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligini e’tiborga olsak, unda boʻlishini topamiz.
Ikkinchi tomondan, Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga koʻra bu funksiya sferada oʻzining aniq quyi chegarasiga erishadi, ya’ni biror uchun
boʻladi. Yana kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligini e’tiborga olsak,
ekanini topamiz. Demak, sferada
boʻladi.
Endi
ni baholaymiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib, topamiz:
Ma’lumki, da barcha . Bundan foydalanib nuqtaning atrofini etarlicha kichik qilib olish hisobiga
tengsizlikka erishish mumkin. Demak, (13.32) dan
Do'stlaringiz bilan baham: |