21-ma’ruza. Ko‘p o‘zgaruvchili funsiyaning yuqоri tartibli hоsila va differensiali. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumi, ekstremum bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti

3. Funksiya ekstremumining etarli sharti
Biz yuqorida funksiyaning nuqtada ekstremumga erishishining zaruriy shartini koʻrsatdik. Endi funksiyaning ekstremumga erishishining etarli shartini oʻrganamiz.
funksiya nuqtaning biror

atrofida berilgan boʻlsin. Ushbu
(1)
ayirmani qaraylik. Ravshanki, bu ayirma da oʻz ishorasini saqlasa, ya’ni har doim boʻlsa, funksiya nuqtada minimumga (maksimumga) erishadi. Agar (1) ayirma har qanday atrofda ham oʻz ishorasini saqlamasa, u holda funksiya nuqtada ekstremumga ega boʻlmaydi. Demak, masala (1) ayirma oʻz ishorasini saqlaydigan atrof mavjudmi yoki yoʻqmi, shuni aniqlashdan iborat. Bu masalani biz, xususiy holda ya’ni funksiya ma’lum shartlarni bajargan holda echamiz.
funksiya quyidagi shartlarni bajarsin:
1) funksiya biror da uzluksiz, barcha oʻzgaruvchilari boʻyicha birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega;
2) nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi, ya’ni
.
Teylor formulasidan foydalanib, nuqtaning statsionar nuqta ekanligini e’tiborga olib, quyidagini topamiz:

Bu munosabatda funksiyaning barcha xususiy hosilalari lar ushbu

nuqtadan hisoblangan va

Demak,

Berilgan funksiya ikkinchi tartibli hosilalarining statsionar nuqtadagi qiymatlarini quyidagicha belgilaylik:

Unda ning nuqtada uzluksizligidan

boʻlishi kelib chiqadi. Bu munosabatda da barcha va

boʻladi. Natijada (13.31) ayirma ushbu

koʻrinishni oladi. Buni quyidagicha ham yozish mumkin:
.
Agar

deb belgilasak, unda
(2)
boʻladi.
Ushbu

ifoda oʻzgaruvchilarning kvadratik formasi deb ataladi, lar esa kvadratik formaning koeffitsientlari deyiladi. Ravshanki, har qanday kvadratik forma oʻz koeffitsientlari orqali toʻla aniqlanadi. Kvadratik formalar algebra kursida batafsil oʻrganiladi. Quyida biz kvadratik formaga doir ba’zi (kelgusida qoʻllaniladigan) tushunchalarni eslatib oʻtamiz.
Ravshanki, boʻlsa, har qanday kvadratik forma uchun

boʻladi.
Endi boshqa nuqtalarni qaraylik. Quyidagi hollar boʻlishi mumkin: