21-ma’ruza. Ko‘p o‘zgaruvchili funsiyaning yuqоri tartibli hоsila va differensiali. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumi, ekstremum bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti
Download 0.74 Mb.
|
21-mavzu
- Bu sahifa navigatsiya:
- Silvestr alomati.
40 – 50. Agar
kvadratik forma yarimmusbat aniqlangan boʻlsa yoki yarimmanfiy aniqlangan boʻlsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishishi ham erishmasligi ham mumkin. Bu «shubhali» hol qoʻshimcha tekshirib aniqlanadi. Yuqoridagi 3-teoremaning 3-sharti, ya’ni kvadratik formaning musbat yoki manfiy aniqlanganlikka aloqador sharti teoremaning markaziy qismini tashkil etadi. Kvadratik formaning musbat yoki manfiy aniqlanganligini algebra kursidan ma’lum boʻlgan Silvestr alomatidan foydalanib topish mumkin. Quyidagi bu alomatni isbotsiz keltiramiz. Silvestr alomati. Ushbu kvadratik formaning musbat aniqlangan boʻlishi uchun tengsizliklarning, manfiy aniqlangan boʻlishi uchun tengsizliklarning bajarilishi zarur va etarli. Xususiy holni, funksiya ikki oʻzgaruvchiga bogʻliq boʻlgan holni qaraylik. funksiya nuqtaning biror atrofi da birinchi, ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega boʻlib, esa qaralayotgan funksiyaning statsionar nuqtasi boʻlsin: , . Odatdagidek , , . 1). Agar va boʻlsa, funksiya nuqtada minimumga erishadi, 2). Agar va boʻlsa, funksiya nuqtada maksimumga erishadi. 3). Agar boʻlsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi. 4). Agar boʻlsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishishi mumkin, erishmasligi ham mumkin. Bu «shuhbali» hol qoʻshimcha tekshirish yordamida aniqlanadi. Haqiqatdan ham 1)- va 2)- hollarda kvadratik forma mos ravishda musbat aniqlangan yoki manfiy aniqlangan boʻladi (qaralsin: Silvestr alomati). 3)- holda, ya’ni (5) boʻlganda kvadratik forma noaniq boʻladi. Shuni isbotlaylik. boʻlsin. Bu holda (5) dan boʻlishi kelib chiqadi. Natijada kvadratik forma ushbu koʻrinishga keladi. Bu kvadratik forma qiymatda musbat: va qiymatda esa manfiy: boʻladi. Endi boʻlsin. Bu holda kvadratik formani quyidagicha yozib olamiz: . (6) Keyingi tenglikdan qiymatda va qiymatlarda esa boʻlishini topamiz. Va nihoyat, boʻlsin. Bu holda (6) munosabatdan foydalanib, kvadratik formaning qiymatda musbat va qiymatda esa manfiy boʻlishini topamiz. Shunday qilib, boʻlganda kvadratik formaning noaniq boʻlishi isbot etildi. 4)- holni, ya’ni boʻlgan holni qaraylik. Bu holda, boʻlsa, unda boʻlib, kvadratik forma ushbu koʻrinishni oladi. Ravshanki, boʻlganda , boʻlganda boʻlib, ning ixtiyoriy qiymatida boʻladi. Agar boʻlsa, , boʻlganda , boʻlib, va larning tenglikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida kvadratik forma nolga teng boʻladi. Demak, qaralayotgan holda kvadratik forma yarimmusbat aniqlangan yoki yarimmanfiy aniqlangan boʻladi. Download 0.74 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling