21-ma’ruza. Ko‘p o‘zgaruvchili funsiyaning yuqоri tartibli hоsila va differensiali. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumi, ekstremum bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti

4⁰ – 5⁰. Agar

kvadratik forma yarimmusbat aniqlangan boʻlsa yoki yarimmanfiy aniqlangan boʻlsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishishi ham erishmasligi ham mumkin. Bu «shubhali» hol qoʻshimcha tekshirib aniqlanadi.
Yuqoridagi 3-teoremaning 3-sharti, ya’ni kvadratik formaning musbat yoki manfiy aniqlanganlikka aloqador sharti teoremaning markaziy qismini tashkil etadi. Kvadratik formaning musbat yoki manfiy aniqlanganligini algebra kursidan ma’lum boʻlgan Silvestr alomatidan foydalanib topish mumkin. Quyidagi bu alomatni isbotsiz keltiramiz.
Silvestr alomati. Ushbu

kvadratik formaning musbat aniqlangan boʻlishi uchun

tengsizliklarning, manfiy aniqlangan boʻlishi uchun

tengsizliklarning bajarilishi zarur va etarli.
Xususiy holni, funksiya ikki oʻzgaruvchiga bogʻliq boʻlgan holni qaraylik.
funksiya nuqtaning biror atrofi

da birinchi, ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega boʻlib, esa qaralayotgan funksiyaning statsionar nuqtasi boʻlsin:
, .
Odatdagidek
, , .
1). Agar
va
boʻlsa, funksiya nuqtada minimumga erishadi,
2). Agar
va
boʻlsa, funksiya nuqtada maksimumga erishadi.
3). Agar

boʻlsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.
4). Agar

boʻlsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishishi mumkin, erishmasligi ham mumkin. Bu «shuhbali» hol qoʻshimcha tekshirish yordamida aniqlanadi.
Haqiqatdan ham 1)- va 2)- hollarda kvadratik forma mos ravishda musbat aniqlangan yoki manfiy aniqlangan boʻladi (qaralsin: Silvestr alomati).
3)- holda, ya’ni
(5)
boʻlganda kvadratik forma noaniq boʻladi. Shuni isbotlaylik.
boʻlsin. Bu holda (5) dan boʻlishi kelib chiqadi. Natijada kvadratik forma ushbu

koʻrinishga keladi. Bu kvadratik forma

qiymatda musbat:
va
qiymatda esa manfiy:

boʻladi.
Endi boʻlsin. Bu holda kvadratik formani quyidagicha yozib olamiz:
. (6)
Keyingi tenglikdan qiymatda

va qiymatlarda esa

boʻlishini topamiz.
Va nihoyat, boʻlsin. Bu holda (6) munosabatdan foydalanib, kvadratik formaning qiymatda musbat va qiymatda esa manfiy

boʻlishini topamiz.
Shunday qilib, boʻlganda kvadratik formaning noaniq boʻlishi isbot etildi.
4)- holni, ya’ni boʻlgan holni qaraylik. Bu holda, boʻlsa, unda boʻlib, kvadratik forma ushbu

koʻrinishni oladi.
Ravshanki, boʻlganda
,
boʻlganda

boʻlib, ning ixtiyoriy qiymatida

boʻladi.
Agar boʻlsa,
,
boʻlganda
,
boʻlib, va larning

tenglikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida kvadratik forma nolga teng boʻladi. Demak, qaralayotgan holda kvadratik forma yarimmusbat aniqlangan yoki yarimmanfiy aniqlangan boʻladi.