21-ma’ruza. Ko‘p o‘zgaruvchili funsiyaning yuqоri tartibli hоsila va differensiali. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumi, ekstremum bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti

4-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtada qat’iy maksimumga erishish koʻrsatilsin.
Haqiqatdan ham, nuqtaning ushbu

atrofi olinsa, unda uchun

boʻladi.
2 va 3- ta’riflardan koʻrinadiki, funksiyaning nuqtadagi qiymati ni uning shu nuqta atrofidagi nuqtalardagi qiymatlari bilangina solishtirilar ekan. Shuning uchun funksiyaning ekstremumi (maksimumi, minimumi) lokal ekstremum (lokal maksimum, lokal minimum) deb ataladi.
2⁰. Funksiya ekstremumining zaruriy sharti. funksiya ochiq toʻplamda berilgan. Aytaylik, funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) ega boʻlsin. Ta’rifga koʻra nuqtaning shunday atrofi mavjudki, uchun


xususan


boʻladi. Natijada bir oʻzgaruvchiga ga bogʻliq boʻlgan funksiyaning da eng katta (eng kichik) qiymati ga erishishini koʻramiz. Agarda nuqtada xususiy hosila mavjud boʻlsa, unda Ferma teoremasiga koʻra

boʻladi.
Xuddi shuningdek, xususiy hosilalar mavjud boʻlsa,

boʻlishini topamiz.
Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz.
2-teorema. Agar funksiya nuqtada ekstremumga erishsa va shu nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega boʻlsa, u holda

boʻladi.
Biroq funksiyaning biror nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega va

boʻlishidan uning shu nuqtada ekstremumga ega boʻlishi har doim ham kelib chiqavermaydi.
Masalan, toʻplamda berilgan

funksiyani qaraylik. Bu funksiya xususiy hosilalarga ega boʻlib, ular nuqtada ekstremumga ega emas.
Demak, 2-teorema bir argumentli funksiyalardagidek funksiya ekstremumga erishishining zaruriy shartini ifodalar ekan.
funksiya xususiy hosilalarini nolga aylantiradigan nuqtalar uning statsionar nuqtalari deyiladi.