21-ma’ruza. Ko‘p o‘zgaruvchili funsiyaning yuqоri tartibli hоsila va differensiali. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumi, ekstremum bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti

1⁰. Barcha nuqtalar uchun

Bu holda kvadratik forma musbat aniqlangan deyiladi.
2⁰. Barcha nuqtalar uchun
.
Bu holda kvadratik forma manfiy aniqlangan deyiladi.
3⁰. Ba’zan nuqtalar uchun ba’zi nuqtalar uchun

Bu holda kvadratik forma noaniq deyiladi.
4⁰. Barcha nuqtalar uchun

va ular orasida shunday nuqtalar ham borki,

Bu holda kvadratik forma yarimmusbat aniqlangan deyiladi.
5⁰. Barcha nuqtalar uchun

va ular orasida shunday nuqtalar ham borki,
.
Bu holda kvadratik forma yarimmanfiy aniqlangan deyiladi.
Keltirilgan hollarni alohida-alohida tahlil qilamiz:
1⁰. Ushbu

kvadratik forma musbat aniqlangan boʻlsin. Avvalo yuqoridagi

va

tengliklardan

ekanligini topamiz. Ma’lumki, fazoda

markazi nuqtada radiusi 1 ga teng sferani ifodalaydi. Sfera yopiq va chegaralangan toʻplam. Veyershtrassning birinchi teoremasiga asosan shu sferada funksiya uzluksiz funksiya sifatida chegaralangan, xususan quyidan chegaralangan boʻladi:

Agar kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligini e’tiborga olsak, unda boʻlishini topamiz.
Ikkinchi tomondan, Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga koʻra bu funksiya sferada oʻzining aniq quyi chegarasiga erishadi, ya’ni biror uchun

boʻladi. Yana kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligini e’tiborga olsak,

ekanini topamiz. Demak, sferada

boʻladi.
Endi

ni baholaymiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib, topamiz:

Ma’lumki, da barcha . Bundan foydalanib nuqtaning atrofini etarlicha kichik qilib olish hisobiga

tengsizlikka erishish mumkin. Demak, (13.32) dan