21-ma’ruza. Ko‘p o‘zgaruvchili funsiyaning yuqоri tartibli hоsila va differensiali. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumi, ekstremum bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti

1-misol. Ushbu

funksiyaning 2-tartibli xususiy hosilasi topilsin.
Ravshanki,



.
2-misol. Ushbu

funksiyaning aralash hosilalari topilsin.
Aytaylik boʻlsin. U holda



boʻladi.
Berilgan funksiyaning nuqtadagi xususiy hosilalarini ta’rifga koʻra topamiz:




Bu keltirilgan misollar koʻrinadiki, funksiyaning va aralash hosilalari bir-biriga teng boʻlishi ham, teng boʻlmasligi ham mumkin ekan.
1-teorema. funksiya ochiq toʻplamda hamda aralash hosilalarga ega boʻlsin. Agar aralash hosilalar nuqtada uzluksiz boʻlsa, u holda shu nuqtada

boʻladi.


2. Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning ekstremum qiymatlari. Ekstremumning zaruriy sharti


1⁰. Funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari. Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning ekstremum qiymatlari ta’riflari xuddi bir oʻzgaruvchili funksiyaniki singari kiritiladi.
funksiya ochiq toʻplamda berilgan boʻlib, boʻlsin.
2-ta’rif. Agar nuqtaning shunday

atrofi mavjud boʻlsaki, uchun

boʻlsa, funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) ega deyiladi, qiymat esa funksiyaning maksimum (minimum) qiymati yoki maksimumi (minimumi) deyiladi.
3-ta’rif. Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud boʻlsaki, uchun boʻlsa, funksiya nuqtada qat’iy maksimumga (qat’iy minimumga) ega deyiladi. qiymat esa funksiyaning qat’iy maksimum (qat’iy minimum) qiymati yoki qat’iy maksimumi (qat’iy minimumi) deyiladi.
Yuqoridagi ta’riflardagi nuqta funksiyaga maksimum (minimum) (8-ta’rifda), qat’iy maksimum (qat’iy minimum) (9-ta’rifda) qiymat beradigan nuqta deb ataladi.
Funksiyaning maksimum va minimumi umumiy nom bilan uning ekstremumi deb ataladi.