21-ma’ruza. Ko‘p o‘zgaruvchili funsiyaning yuqоri tartibli hоsila va differensiali. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumi, ekstremum bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti

2⁰. Quyidagi

kvadratik forma manfiy aniqlangan boʻlsin. Bu holda nuqtaning etarlicha kichik atrofida boʻlishi 1-holdagiga oʻxshash koʻr­sa­ti­ladi. Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.
3-teorema. funksiya nuqtaning biror atro­fi­da berilgan boʻlsin va u ushbu shartlarni bajarsin:
1) funksiya da barcha oʻzgaruvchilar boʻyicha birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega;
2) nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi;
3) koeffitsientlari

boʻlgan

kvadratik forma musbat (manfiy) aniqlangan. U holda funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) erishadi.
Bu teorema funksiya ekstremumining etarli shartini ifodalaydi.
3⁰. Agar

kvadratik forma noaniq boʻlsa, funksiya nuqtada ekstre­mum­­ga erishmaydi. Shuni isbotlaylik larning shunday va qiymatlari topiladiki,
, (3)
boʻladi.
,
nuqtalarni birlashtiruvchi
(4)
kesmaning nuqtalari uchun yuqoridagi (2) munosabat ushbu

koʻrinishiga keladi. Bu tenglikning oʻng tomonidagi birinchi qoʻshiluvchi (3) ga koʻra musbat boʻladi. Ikkinchi qoʻshiluvchi esa, da nolga intiladi (chunki da , ). Demak, (4) kes­ma­ning nuqtaga etarlicha yaqin boʻlgan nuqtalari uchun ayirma musbat, ya’ni

boʻladi.
Xuddi shunga oʻxshash,

kesmaning nuqtaga etarlicha yaqin boʻlgan nuqtalari uchun ayirma manfiy, ya’ni

boʻlishi koʻrsatiladi.
Demak, ayirma nuqtaning har qanday etarlicha kichik atrofida oʻz ishorasini saqlamaydi. Bu esa funksiyaning nuqtada ekstremumga erishmasligini bildiradi.