21-маъруза Ошкормас функциялар 10. Ошкормас функция тушунчаси

2⁰. Ошкормас функциянинг мавжудлиги.
1-теорема. Фараз қилайлик, функция нуқтанинг бирор атрофи

да берилган бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:

1. 
   функция да узлуксиз;
   
2. 
   Ҳар бир тайин да ўзгарувчининг функцияси сифатида ўсувчи;
   
3. 
   .
   

У ҳолда нуқтанинг шундай атрофи

топиладики,
а) да

тенглама ягона ечимга эга, яъни тенглама ёрдамида ошкормас функция аниқланади,
б) бўлади
в) функция да узлуксиз бўлади.

◄ атрофга тегишли бўлган

нуқталарни олиб, сегментда

функцияни қараймиз. Теореманинг 2)-шартига кўра ўсувчи, 3)-шартига кўра бўлади. Бунда эса
,

бўлиши келиб чиқади.
Теореманинг 1)-шартига кўра функция да узлуксиз. Унда узлуксиз функциянинг хоссасига кўра, нуқтанинг шундай атрофи топиладики, да
(3)
бўлади.
Энди нуқтанинг

атрофида

тенглама ни нинг ошкормас функцияси сифатида аниқлашини кўрсатамиз.
Ихтиёрий нуқтани олиб, да ушбу

функцияни қараймиз. Равшанки, бу функция сегментда узлуксиз ва айни пайтда (3) муносабатга биноан


бўлади. Унда Больцано-Кошининг теоремасига кўра шундай нуқта топиладики,

бўлади.
Айни пайтда, функция да ўсувчи (қатъий ўсувчи) бўлганлиги сабабли шу оралиққа биттадан ортиқ нуқтада нолга айланмайди.
Шундай қилиб, ихтиёрий учун ягона топиладики,

бўлади. Бу эса да тенглама ни нинг ошкормас функцияси сифатида аниқлашни билдиради:

Айтайлик, бўлсин. Унда теореманинг 3) шартига кўра

бўлади. Бинобарин, аниқланган ошкормас функциянинг нуқтадаги қиймати бўлади.
Модомики, учун га кўра унга мос келадиган бўлар экан, унда

бўлади. Демак, ошкормас функция нуқтада узлуксиз.
Ошкормас функциянинг нуқтада узлуксиз бўлишини кўрсатиш бу функциянинг нуқтада узлуксиз бўлишини кўрсатиш кабидир. Демак, мавжудлиги кўрсатилган ошкормас функция да узлуксиз бўлади.►