21-маъруза Ошкормас функциялар 10. Ошкормас функция тушунчаси

3⁰. Ошкормас функциянинг ҳосилалари. Ошкормас функциянинг ҳосиласини аниқлайдиган теоремани келтирамиз.
2-теорема. Фараз қилайлик, функция нуқтанинг бирор атрофи да берилган бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:

1. 
   да узлуксиз;
   
2. 
   да узлуксиз хусусий ҳосилаларга эга ва ;
   
3. 
   .
   

У ҳолда нуқтанинг шундай атрофи топиладики, тенглама ни нинг ошкормас функцияси сифатида аниқлайди ва бу функция да узлуксиз дифференциал-ланувчи бўлиб,

бўлади.
◄Теореманинг шартига кўра функция да узлуксиз ва . Айтайлик, бўлсин. Узлуксиз функция хоссасига кўра нуқтанинг шундай атрофи топиладики, да бўлади. Бундан эса ҳар бир тайин да функция ўзгарувчининг функцияи сифатида ўсувчи бўлиши келиб чиқади. У ҳолда 1-теоремага кўра тенглама да ни нинг ошкормас функцияси сифатида аниқлайди ва ошкормас функция да узлуксиз бўлиб, бўлади.
Айтайлик, бўлсин. Равшанки,

бўлиб,
(4)
бўлади.
Теореманинг шартидан функциянинг нуқтада дифференциаланувчи бўлиши келиб чиқади. Бинобарин,
(5)
бўлиб, да бўлади.
(4) ва (5) муносабатлардан топамиз:
.
Кейинги тенгликда да лимитга ўтсак, унда

ҳосил бўлади.
да хусусий ҳосилалар узлуксиз ва бўлишидан ошкормас функциянинг ҳосиласи

нинг да узлуксиз бўлиши келиб чиқади.►
4-мисол. Ушбу

тенглама нуқтанинг атрофида ни нинг ошкормас функцияси сифатида аниқлаши ва бу ошкормас функция-нинг ҳосиласи топилсин.
◄ Равшанки,

функция да аниқланган ва узлуксиз. Бинобарин, у нуқтанинг атрофида узлуксиз, функциянинг хусусий ҳосилалари қуйидагича бўлади:

.
Демак, функциянинг хусусий ҳосилалари да, жумладан нуқтанинг атрофида узлуксиз.
Сўнг
.
Ва ниҳоят,

бўлади. Унда 2- теоремага кўра

тенглама нуқтанинг атрофида ни нинг ошкормас функцияси сифатида аниқлайди ва бу ошкормас функциянинг ҳосиласи

бўлади.►