4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью

Последовательное соединение распределенных блоков

При последовательном соединении двух блоков с передаточными функциями и в силу уравнения (27), получаем соотношение, связывающего вход и выход каждого из них.

(32)

Здесь - выход второго блока выход всего соединения, - выход сигнала первого блока, который одновременно является входным сигналом - второго блока.

- пространственная переменная внешнего воздействия,
- пространственная переменная второго блока.
Последовательное соединение имеет смысл при , что называется условием согласования.
Пространственную область определения выходного сигнала предыдущего блока и сигнала последовательного совпадают.

Таким образом, передаточная функция последовательного блока, это есть интеграл по последовательной координате.

(33)

Передаточная функция последовательного соединения определяется в форме пространственной композиции (33) передаточных функций отдельных блоков, связанных в порядке обратном по отношению к порядку их следования в схеме данного соединения.

Поэтому менять сомножители нельзя, так как интеграл может изменить свои значения.

Поэтому последовательное соединение называется некоммутативным.

Полученные выводы распространяются на любое число последовательных блоков.

Лекция № 12

Пример:

Рассмотрим процесс нагрева тела:

В простейшем случае рассмотрим тело геометрически правильной формы с одномерным распространением тепла на отрезке от –R до R с симметрическими условиями на границах . Пренебрегая температурной зависимости мощности внутреннего тепло отделения, рассмотрим неравномерное распределение только по одной из пространственных координат.

Уравнение при нагреве неподвижного тела сводится к следующему уравнению теплопроводности:


.

С начальными условиями , .

И граничными условиями второго рода:


, ,


, ,


- коэффициент температуры проводности.


- коэффициент формы тела,
- для бесконечной пластины толщенной ,
- бесконечный цилиндр радиусом ,
- шар, радиусом ,
- удельная теплоемкость,
- коэффициент теплообмена,
- коэффициент теплопроводности.

В качестве выхода объекта выступает нестационарное температурное поле , а в роли внешних воздействий – удельная мощность внутреннего тепловидения , плотность теплового потока на поверхности и начальные распределения температур .

Каждый из этих воздействий может рассматриваться в качестве управления внутреннего или граничного неуправляемого внешнего фактора (возмущения).
Общее решение в соответствии с (21) на указанные входные воздействия при заданном температурном состоянии.


.

Здесь функция Грина во втором двойном интеграле характеризует распределение температуры, возбуждаемый точечным источником тепла вида -функции сосредоточенной в момент времени в точке .

Частными случаями функции Грина являются:
1. Функция Грина характеризует распределение температуры возбуждаемая точечным источником тепла вида -функции, сосредоточенной в точке в начальный момент времени .
2. Функция Грина при .
Импульсная передаточная функция (функция Грина) Является решением задачи,


,


,


,


,

при нулевых начальных и однородных граничных условиях.

Здесь используется разложение в бесконечный ряд Фурье по тригонометрической системе функции с зависящим от времени коэффициентами в виде экспоненты с отрицательными показателями степени быстровозрастающими по абсолютной величине.

.

Для одномерной задачи в общем случае (24*) стандартизирующая функция имеет вид:

,

где -определяются из выражения вида:

,


, при ,


,


, при .

Для нашего случая:

,
,
,
,
,
,
,
,
.

Входное воздействие , следовательно, стандартизирующая функция для нашей задачи запишется в виде:

.

Пусть плотность теплового потока на поверхности пластины и начальное распределение температуры , тогда стандартизирующая функция упрощается до следующего вида:

.

Тогда решение рассматриваемой задачи описывается пространственно временной композицией вида:

.
Лекция № 13