4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью

Функция Грина

Если в краевой задаче (17)-(20) начальные условия нулевые, а граничные условия однородные, т.е.

и функции в уравнении (17) представляется как


(22)

где и - функции, зависящие от и , сосредоточенных в точках:

То уравнение (21) можно записать в следующим образом:

(23)

Т.е. функции Грина - является решением краевой задачи, при описанных выше условиях, и, следовательно, описывает реакцию распределенной системы с нулевыми начальными и однородными граничными условиями в любой точке и любой момент времени на точечное импульсное воздействие вида функции, приложенной к произвольной, но фиксированной точки в момент времени .

Поэтому функцию Грина называют фундаментальным решением уравнения (17) функцией точечного источника, функцией влияния, импульсной переходной функцией.
Аргументы и - входные аргументы, и - выходные аргументы.
В частных случаях функция Грина может быть найдена в явном виде, путем непосредственного решения краевой задачи.
В общем случае, при невозможности определения аналитического решения, используются численные методы.


Стандартные формы и стандартизирующие функции

В теореме СРП можно подобрать такую функцию вместо в уравнении (1), которое компенсирует эффекты влияния на входную величину не нулевых начальных и неоднородных граничных условий, обеспечивая равенство решения исходной системы (1)-(3) и следующей краевой задачи (24).

(24)

с нулевыми начальными граничными условиями.

Тем самым система уравнений (24) эквивалентна исходной модели (1)-(3), но при этом собирает правую часть уравнения (1) в входные воздействия, существенно упрощает описание СРП.
Система (24) называется стандартной формой записи уравнения (1)-(3), а функция - стандартизирующая функция.

Лекция № 10

, ,

В соответствии с (21) решение этой задачи принимает вид:

(25)

Выражение (25) – это интегральная форма описания СРП.