4-ma'ruza: tabiatning fundamental qonunlari asosida tuziladigan modellar

Shakl: 5.5. 5.19 tizimining bosqich portreti

a - doimiy diqqat,

tizim parametrlari: e _x = 2, g _xy = 18, d _x = 1, e _y = 3, g _yx = 5, d _y = 1

b - barqaror tugun,

tizim parametrlari: e _x = 2, g _xy = 1, d _x = 1, e _y = 3, g _yx = 1, d _y = 1

Tengsizlik belgisi o'zgartirilganda nuqta barqaror tugunga aylanadi.

Ikkala holatda ham statsionar holat asimptotik barqaror va echim tenglamalarning o'ng tomonidagi kichik o'zgarishlarga barqarordir. Shunday qilib, aholining o'zini cheklashi uning sonining barqarorligiga olib keladi.

Shuni ta'kidlash kerakki , biz ko'rib chiqqan eng oddiy Volterra modellari doimiy tebranishlarni doimiy davri va amplitudasi bilan ta'riflay olmaydi. Bunday tebranishlarni tavsiflash uchun faza tekisligida chegara tsikliga ega bo'lgan chiziqli bo'lmagan modellar talab qilinadi . Ular 8-ma'ruzada muhokama qilinadi.

LYAPUNOVNING O'RGATISH BARARARLIGI UChUN FUNKSIYALARINING USULI Statsionar davlat.

Statsionar holat barqarorligini analitik o'rganishda ko'pincha funktsiyani tanlash usuli qo'llaniladi, uning sathlari yopiq traektoriyalar - tizim tizimining faza traektoriyalari uchun "tuzoq" (5.1)

Bu usul muxtor tizimiga amal qiladi n- th tartibi tenglamalar

(5.21)

bu erda f _i (0,0, ..., 0) = 0, ( i = 1, ..., n ) .

Bu to'g'ri tanlangan Lyapunov funktsiyasidan foydalangan holda uning statsionar holati barqarorligini to'g'ridan-to'g'ri tekshirishdan iborat .

Usul ikki teoremaga asoslangan.

Teorema 1

Agar kelib chiqadigan joyda quyidagi shartlarni qondiradigan V ( x ₁ , ..., x _n ) farqlanadigan funktsiya mavjud bo'lsa :

a ) V ( x ₁ ,…, x _n ) ³ 0 va V ( x ₁ ,…, x _n ) = 0 faqat boshlanganda;

b)

va faqat x ₁ =… = x _n = 0 uchun ,

u holda tizimning dam olish nuqtasi (5.21) barqaror bo'ladi.

Teorema 2

Agar kelib chiqadigan joyda quyidagi shartlarni qondiradigan V ( x ₁ , ..., x _n ) farqlanadigan funktsiya mavjud bo'lsa :

a ) V ( x ₁ ,…, x _n ) = 0 va kelib chiqishiga ixtiyoriy ravishda V ( x ₁ ,…, x _n )> 0 bo'lgan nuqtalar mavjud ;

b)

va faqat x ₁ =… = x _n = 0 uchun,

u holda tizimning (5.21) dam olish nuqtasi beqaror.

Ushbu teoremalarning isbotini L.E.ning kitobida topish mumkin. Elsgolts "Diferensial tenglamalar nazariyasi" yoki differentsial tenglamalar nazariyasi bo'yicha boshqa darsliklarda.

Lyapunov funktsiyasini qurish uchun umumiy usul yo'q. Biroq, chiziqli avtonom tizimlar uchun uni quyidagi shaklda izlash kerak:

a > 0 , b > 0 koeffitsientlarini mos ravishda tanlab olish va h.k., a va b chiziqli bo'lmagan tizimlar uchun ixtiyoriy belgilar bo'lishi mumkin.

Misollari

1. Lineer tizimni ko'rib chiqing:

Biz Lyapunov funktsiyasini tanlaymiz: V = x ² + y ² . Keyin

Bu ibora har doim uchun salbiy x ¹ 0 , chunki x ning kuchlari ham qavs ichida . Shuning uchun (0, 0) nuqta barqaror.

2018-04-02 121 2 . Sonlari x va y bo'lgan turlar o'rtasidagi raqobatni tavsiflovchi tenglamalar tizimini ko'rib chiqing . Turlarning har biri logistik qonunga muvofiq ko'payadi va uchrashgandan so'ng (tenglamalarning o'ng tomonidagi mahsulot) ikkala tur va boshqa turlarning soni kamayadi.

(5.22)

X va y uchun nolga teng bo'lmagan turlarning ( ` x , ` y ) birgalikda yashashiga mos keladigan statsionar holatni tekshiramiz . Uning koordinatalari:

... (5.23)

V. Volterra Lyapunov funktsiyasini tuzgan holda a > 0 , b £ 1 tizim parametrlari uchun statsionar holat (5.23) barqaror ekanligini ko'rsatdi :

...

Uning hosilasi

va a , b va x , y > 0 koeffitsientlarining kichik qiymatlari uchun manfiydir . Dalil V. Volterraning kitobida keltirilgan. "Mavjudlik uchun kurashning matematik nazariyasi" (Moskva, 1976)

Adabiyot

Riznichenko G.Yu., Rubin A.B. Biologik ishlab chiqarish jarayonlarining matematik modellari. M., ed. Moskva davlat universiteti, 1993 yil

Volterra V. Borliq uchun kurashning matematik nazariyasi M., Nauka, 1976 y

Elsgolts L.E. Differentsial tenglamalar nazariyasi. M., Fan, 1971 yil

Lotka AJ Fizik biologiya elementlari. Uilyams va Uilkins. Baltimor 1925 yil.