4-ma'ruza: tabiatning fundamental qonunlari asosida tuziladigan modellar

Misollari

1. Kinetik tenglamalar tovoqlar ( A . J . Lotka . Jismoniy biologiyasi Elements, 1925)

Gipotetik kimyoviy reaktsiya Lotka tomonidan tekshirildi:

Model juda sodda va tizimning statsionar holatining barqarorligini linearizatsiya usuli bilan o'rganishni qo'llashning yaxshi tasviri bo'lib xizmat qiladi.

Bu modda Aytaylik , A , ma'lum bir hajmining ortig'i . Molekulalar bir ma'lum bir doimiy stavkasi bilan modda molekulalari aylantirildi X (nol-tartibi reaktsiya). Modda X modda aylanishi mumkin Y, va bu reaksiya tezligi katta, katta modda konsentratsiyasi hisoblanadi Y - ikkinchi-tartib reaktsiya. Diagrammada bu Y belgisi ustidagi orqa o'q bilan aks ettirilgan . Y molekulalari , o'z navbatida, qaytarilmas ravishda parchalanadi, natijada B moddasi hosil bo'ladi (birinchi darajali reaktsiya).

Reaktsiyani tavsiflovchi tenglamalar tizimini yozamiz:

(5.13)

Bu erda x , y , B - kimyoviy tarkibiy qismlarning kontsentratsiyasi. Ushbu tizimning dastlabki ikkita tenglamasi B ga bog'liq emas , shuning uchun ularni alohida ko'rib chiqish mumkin. Tizimning statsionar echimini ko'rib chiqing:

Ushbu shartlardan biz muvozanat kontsentratsiyasini bog'laydigan algebraik tenglamalar tizimini olamiz :

(5.14)

Maxsus nuqta koordinatalari:

...

Keling, ushbu statsionar holatning barqarorligini Lyapunov usuli bilan o'rganib chiqamiz. Biz o'zgaruvchilarning muvozanat konsentratsiyasidan chetlanishlarini tavsiflovchi yangi x , h o'zgaruvchilarni kiritamiz :

...

Yangi o'zgaruvchilardagi chiziqli tizim:

(5.15)

E'tibor bering, x , h o'zgaruvchilarning statsionar qiymatlaridan chetlanishlar belgini o'zgartirishi mumkin, x , y kontsentratsiyalar bo'lgan asl o'zgaruvchilar esa faqat ijobiy bo'lishi mumkin.

(4.3) tizimning xarakterli tenglamasini yozamiz:

yoki

...

Xarakterli tenglamaning ildizlari:

...

Tizimning fazaviy portreti (5.13) shakl. 5.1.