6. Ўртача миқдорлар

6. Ўртача миқдорлар.


Режа:
6.1 Ўртача миқдорлар ҳақида тушунча ва уларни қўллашдаги асосий шартлар.
6.2 Ўртача арифметик миқдорнинг турлари, унинг хусусиятлари ва уларни ҳисоблаш тартиби.
6.3 Ўртача гармоник миқдорнинг турлари ва уларни ҳисоблаш тартиби.
6.4 Мода ва медиана.
6.5 Вариацион қаторлари.

Адабиётлар: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 28

Таянч иборалар.
Ўртача миқдор; ўртача арифметик миқдор; ўрталаштирилаётган белги; белги вариантлари; белги вазни (учрашиш тезлиги), сигма; прогрессив ўртача; гуруҳий ўртача; ўртача гармоник миқдор; ўртача хронологик миқдор; ўртача квадратик миқдор; ўртача геометрик миқдор; ўртача геометрик миқдор; мода; медиана; вариацион қаторлари; дискрет ва интервал вариацион қаторлари;


6.1. Ўртача миқдорлар ҳақида тушунча ва уларни қўллашдаги асосий шартлар.
Ўртача миқдор ҳаётда энг кўп қўлланиладиган тушунчалардан бири бўлиб ҳисобланади. Олам қонунларидан бири бўлган «Олтин ўрта» («Золотая середина»), «Ўртача меъёр қонуни» нинг тўғрилиги борасида оламнинг аҳволи шохиддир. Хазрати Пайғамбаримиз бу масалаларга қаттиқ эътибор бериб, қуйидаги хадисларни айтиб ўтганлар:
- Ишларнинг хайрлиси, фазилатлиси – ўртачасидир.
- Эй парвардигор! Мен сендан ҳидоят, тақво, ўрта хол яшаш ва одамларга ҳожатманд бўлишни сўрайман.
- Ислом ақлнинг ҳаддан ошишини ҳам, орқада қолишини ҳам истамайди.
- ҳар бир ишда ўрта холлик лозимдир. Ҳатто динда ҳам бирор киши ортиқча «сўфийлик» қилса, охири мағлуб бўлади.
- Кимки ислом йўлида борса, ўртача тирикчилик қилса, у омадли кишидир.
Ҳатто инсон ҳам ана шу қонунга кўра «Олтин ўрта»ни – фаришта билан ҳайвон ўртасини эгаллаган. Оллоҳ фаришталарни ана шу «Олтин ўрта» ни эгаллаган мавжудот – инсонга (Одам Атога) ҳурмат саждасини қилдирган.
Пайғамбаримиз ҳар бир ишда ўртача йўлни тарғиб қилганлар, яъни:

• 
  Ҳаётда бу дунё деб, у дунёдан кечманглар, у дунё деб, бу дунёдан кечманглар. Бу дунёда Оллоҳ буюрган ишларни қилиб, яшаш учун яратилгансизлар.
  
• 
  Ибодат ва амалларда ўртача бўлинглар. Бу хушҳабарни билингларки, хеч бирингизни амалингиз жаннатга киргиза олмайди, ҳатто мен ҳам Илло Оллоҳ та Оллонинг раҳмат ва мағфирати менга кўп бўлган тақдирдагина жаннат насиб бўлур.
  
• 
  Яхши кўрган кишингни ўртачароқ яхши кўр, балким бир кун келиб, у ёмон кўрганинг бўлиб қолар. Ёмон кўрган кишингни ҳам ўртачароқ ёмон кўрки, бир кун келиб яхши кўрганинг бўлиб қолиши мумкин.
  

Ўртача йўл ғоясини қадимги юнон файласуфлари Арасту ҳам ёқлаган. У ўзининг асарларида давлат ҳокимияти бойларда ҳам эмас, камбағалларда ҳам эмас, балким, фақат ўрта табақа қўлида бўлиши керак, давлатнинг энг яхши шакли – ўрта табақанинг ҳокимиятидир, деб таъкидланган. Унинг-ча, ҳаддан ташқари демократия айниган демократиядир.
Халқимизда: «Қозиқнинг боши ҳам, охири ҳам бўлма, ўртаси яхши» деган мақол бор. Донишманд Шарқда бирон-бир жумла бекорга, нақлга, мақолга, хикматга ёки ҳадисга айланмайди. Албатта, юқорида қайд қилинган ҳадислар кучли манавий-тарбиявий қувватга эгадир.
Аммо биз каби тикланаётган ўз имкониятлари бор бўйича намойиш этишга, миллат сифатида дунё майдонларида қурбу қудратини танитиб тан олдиришга интилаётган халқ учун, айниқса, корхона жамоа хўжаликла-
ри учун ўрта миёна мезон у қадар тўғри келмайди. Бу мезон одамларнинг ўрта миёна яшашга ва ишлашга, корхона хўжаликларининг эса ўрта миёна меҳнат унумдорлиги даражасида ишлашга ундайди, ташаббускорлар йўлига тўсиқ бўлади.
Ёшларимизга «Камтарга камол, манманга завол», деб ўргатганимиз яхши аммо шу баробарида: «Сен буюк аждодларимизнинг авлодидасан. ҳамма яхшиликларига қодирсан, зўрсан, зўр бўлишинг керак» (аммо зўравон эмас), дейишга ҳижолат ҳам бўлмаслигимиз лозим.
Ривожланган мамлакатларда ўрта синф жамиятнинг асосини ташкил этади. У, одатда, энг барқарор ва қонунга риоя қилувчи аҳоли қисмини ташкил этади. Ўрта синфнинг ижтимоий стратегияси не чоғли кенг бўлса, ижтимоий жиҳатдан жамият шунга бир хил ва барқарордир.
1999 йилда Фарғона вилоятида Евростат услубияти асосида уй хўжаликларини кузатиш давомида ўтказилган социологик сўровномада аҳолини қуйидаги олтита ижтимоий гуруҳга бўлиб ўрганилди:

1. 
   Ҳаёт тарзи юқори;
   
2. 
   Ўртачадан баланд;
   
3. 
   Ўртача;
   
4. 
   Ўртачадан паст;
   
5. 
   Қуйи;
   
6. 
   Ўта қуйи.
   

Сўровномада қуйидаги савол – мазкур уй хўжалигини фаровонлик даражасига кўра юқоридаги қайси гуруҳга киритиш мумкинлиги хусусида олинган жавоблардан келиб чиққан ҳолда, оилалар қуйидаги тартибда гуруҳларга тақсимланади: уй хўжаликларнинг 46,7% и - ўртача, 10,3% - ўртачадан баланд ва 26,1 % - ўртачадан паст даражада белгиланди.
Демак, аҳолининг тахминан 83% ини ташкил этувчи айнан шу гуруҳларга ўртача синфнинг ижтимоий асоси сифатида қаралади. Қолган гуруҳлар – тахминан 17% га яқинини фаровонлик даражасига кўра юқори, қуйи ёки ўта ўуйи бўлган гуруҳларга мансубдир.
Бу маълумотлар Ўзбекистондаги ўртача синфни бозор иқтисодиётига мослашган, ўз хусусий ресурсларидан фойдаланишни бўлган вакиллари ўзининг даромад даражаси, ижтимоий мақоми ва ижтимоий-маданий тавсифларга кўра мустақил бўла оладиган синф сифатида дастлабки равишда белгилашга имкон яратди.
Ҳар қандай ходиса ўзининг якка (индивидуал) ва умумий миқдорига эга. Аммо бу якка миқдор ҳам, бу умумий миқдор ҳам ўша ходисани умумлаштирилган ҳолда таърифлай олмайди. Масалан, агар ишчиларнинг иш ҳақи устида борса, иш ҳақи даражаси ва унинг ўзгаришини аниқлаш зарур бўлиб қолса, бунига айрим ишчининг иш ҳақи тўғрисидаги маълумот етарли булмайди. Чунки, иш ҳақи ҳар кимда ҳар хил.
Масалан, 2003 йилда вилоят халқ хўжалигида банд бўлган ишчиларнинг ўртача ойлик иш ҳақи 26400 сўмни, жамоа хўжаликларда банд бўлганларнинг иш ҳақи 28400 сўмни, хусусий корхоналарда банд бўлган ходимларнинг иш ҳақи эса 35240 сўмдан сал кўпроқни ташкил қилди, дейлик. Албатта бу рақамлар айрим олинган ишчи, жамоа хўжалиги аъзоси ёки бошқа ходимларнинг иш ҳақига мос келмаслиги мумкин. Чунки, бу сонлар уша бир-биридан тафовутда бўлган иш ҳақларининг ўртасидаги тафовутларни умумлаштиради, шу тўплам учун хос бўлган умумий йўналишни, қонунини очиб беради. Шу хусусиятлари билан ўртача миқдорлар ижтимоий-иқтисодий билишнинг қудратли қуролларидан бири бўлиб ҳисобланади.
Демак, ўртача миқдорлар деб, статистикада бир хил тип (тоифа)даги ижтимоий ходисаларнинг умумлаштирувчи миқдорларнинг даражасини тавсифловчи кўрсаткичларга айтилади. Ўртача миқдорларнинг хусусияти шундан иборатки, у тўпламнинг умумий даражасини ёки ундаги айрим бирликларнинг даражасини тавсифламасдан, балки ўрганилаётган белги умумий даражасининг тўплам бирликларига бўлган нисбатини ифодалайди. Юқоридаги иш ҳақи хусусидаги мисолимизда иш ҳақи фонди ва жами ишчиларнинг сони умумий даража бўлса, уларнинг нисбати натижасида олинган даража эса ўртача миқдорлар бўлиб ҳисобланади, яъни:

Энди, ўртача миқдорлар умумий кўринишида бўлган формула шаклида келтириб ўтамиз:
, (0)
бу ерда:
- ўртача даража;
х – белгининг ўзгарувчи миқдори;
n – варианталар сони;
m – ўртачанинг даража кўрсаткичи;
- йиғиндининг белгиси.
Агарда ушбу формулада, m=-1 бўлса, у ҳолда - ўртача арифметик формулага эга бўламиз; агарда, m=2 бўлса, у ҳолда - ўртача квадратик формулага эга бўламиз; агарда, m=3 бўлса, у ҳолда - ўртача гармоник формулага эга бўламиз; агарда m=0 бўлса, у ҳолда - ўртача геометрик формулага эга бўламиз.
Шуни таъкидлаб ўтиш керак-ки, юқоридаги ўртача миқдорлар ҳисобланганда бир хил бўлмаган натижани кўриш мумкин:

Х	Х^2
3	9
6	36

Бу келтирилган формулалардан ўртача арифметик формуласи энг кўп қўлланилса, ўртача гармоник формулалар эса айрим холларда қўлланиши мумкин; ўртача геометрик формуласи фақатгина динамик қаторларда ўртача ўсишини ҳисоблашда қўлланилса, ўртача квадратик формуласи эса фақатгина вариация кўрсаткичларини ҳисоблашда қўлланилади.

;
;
;

Бу келтирилган мисолимизда ўртача миқдорларнинг даражалари бир-бирларидан тубдан фарқ қилади. Бу фарқланишни қуйидаги умумий ҳолда келтириб ўтамиз:

Бу ўртача миқдорлардан ташқари, статистикада мода ва медиана формулалари ҳам қўлланилиб келинмоқда. Бу формулалар илмий адабиётда айрим холларда тузилмавий (структурали) ўртача миқдорлар деб ҳам юритилади.
Демак, статистикада ўртача миқдорларнинг қуйидаги шакллари мавжуд:

• 
  Ўртача арифметик;
  
• 
  Ўртача гармоник;
  
• 
  Ўртача хронологик;
  
• 
  Ўртача квадратик;
  
• 
  Ўртача геометрик²⁵;
  

У ёки бу ўртачани қўллаш ўрганилаётган ходиса тавсифига боғлиқ. ҳар қандай ўртачани ҳисоблаш учун қуйидагилар бўлиши шарт:

• 
  ўрталаштирилаётган белги ва унинг вариантлари-х₁,х₂,х_3,……,х_n-2,x_n-1,x_n;
  
• 
  Тўпламда ўрганилаётган белгилар сони ёки алоҳида миқдорларнинг учрашиш тезлиги, вазни – f;
  
• 
  Ўрта миқдор - ;
  
• 
  Йиғинди (сигма) -
  

Масалан, ишчиларнинг ўртача иш ҳақи даражасини ҳисоблашда ўрталаштирилаётган ёки ўзгарувчан белги бўлиб – иш ҳақи, вариантлари бўлиб – ҳар бир ишчининг алоҳида иш ҳақи даражаси ва вазни бўлиб ишчилар сони бўлиб ҳисобланади.
Энди ўртача миқдорларни ҳисоблашда қуйидаги асосий қоидаларга риоя қилинишини кўриб чиқамиз:

• 
  Ўрталаштирилаётган якка (индивидуал) миқдорлар бир хил турдаги тўпламга хос бўлиши ва моҳиятлари жиҳатидан тубдан фарқ қилмаслиги шарт, миқдоран эса бир-биридан тафовутда бўлиб, уларнинг сони етарлича кўп бўлиши лозим. Агарда, ўртача моҳияти жиҳатдан тубдан фарқ қилувчи якка миқдорлар бўйича ҳисобланса, у ҳолда бу ўртача ўз мазмунини мутлақо йўқотади ва қалбаки (соҳта) кўрсаткичга айланади;
  
• 
  Ўртача миқдорлар етарли даражада улкан бўлган бир турдаги оммавий тўпламлар учун ҳисобланиши керак. Айнан шу қоидага асосланиб ҳисобланган ўртача ўрганилаётган ходисанинг туб моҳиятини тўлиқ очиб бера олади. Чунки, ўрганилаётган тўплам қанча катта (албатта, нисбатан) бўлса, ўртача натижага салбий таъсир қилувчи тасодифий омиллар таъсири шунча камайиб боради. Шу жиҳатдан ўрта миқдорлар улкан сонлар қонунига бўйсунади;
  
• 
  Ўртача миқдорлар фақатгина умумий тўплам учун ҳисобланмасдан, балким тўпламнинг айрим гуруҳлари, қисмлари (бўлаклар) учун ҳам ҳисобланиши мумкин. Бундай вазифа дастлаб умумий тўпламнинг моҳияти жиҳатидан ўхшаш бўлган гуруҳларга ажратиш, сўнгра эса гуруҳлар учун ўртачаларни ҳисоблаш йўли билан бажарилади. Шу тартибда ҳисобланган гуруҳлар ўртачалари умумий ўртача очиб бера олмайдиган томонларни очиб беради. Масалан, 2003 йилда туманда пахта етиштириш режаси 103,5 фоизи бажарилган бўлсин. Бу умумий ўртача, лекин айрим хўжаликларда шу режа умумий ўртачадан анча юқори (масалан, илғор хўжаликларидан бири 109,6%га, иккинчиси эса 116,8% ва ҳоказо, айрим қолоқ хўжаликларидан бири 85,1%, иккинчиси эса 82,1% ва ҳоказо) лигини кўриш мумкин. Демак, амалий ишда умумий ўртача билан чекланиб бўлмайди, фақатгина уларга асосланиб иш олиб бориш мумкин эмас, чунки умумий ўрта кўп якка миқдорлар асосида ҳисобланиб, нисбатан тафовутда бўлади. Натижада умумий ўртача орқасида қолоқ хўжаликлар бекиниб ётади, илғорлари эса кўринмайди. Шунинг учун ҳам у бу ҳолатда ўртача миқдорларни ҳисоблаш учун бевосита гуруҳлаш усулини қўллаш зарурияти туғилади ва шу асосдагина ушбу муаммо хал этилади.
  

• 
  Ўртача миқдорларни ҳисоблашда ҳисобланиши лозим бўлган белги муҳим бўлиши керак. Акс ҳолда ўртача ҳам аҳамиятсиз бўлиб қолади. Масалан, ўртача миқдорлар сифат жиҳатдан ўзгарувчан белгилар бўйича ҳисобланиши мумкин эмас, жумладан «ўртача миллат», «ўртача ранг», «ўртача муҳит», «беморларнинг ўртача ҳарорати» ва ҳоказо.