60-odd years of moscow mathematical

Grade 8
56.8.1 (Ku). Denote by s(x) the sum of the digits of a positive integer x. Solve:
a) x + s(x) + s(s(x)) = 1993
b) x + s(x) + s(s(x)) + s(s(s(x))) = 1993
56.8.2 (Bo). Knowing that n is the sum of squares of three positive integers, prove that n
2
is also the
sum of squares of three positive integers.
56.8.3 (Sl). On a straight line stand two chips, a red to the left of a blue. The Rule allows the following
two operations: (a) to insert two chips of one color in a row at any place on the line and (b) to delete any
two neighboring chips of one color. Is it possible to leave after finitely many operations only two chips on
the line: a red to the right of a blue?
56.8.4 (Be). At the court of Tsar Gorokh, the tsar’s astrologist declares a moment of time favorable if
on a watch with a centrally placed second hand the minute hand occurs after the hour hand and before the
second one (counting clockwise). Does the whole day (24 h) contain more favorable time than unfavorable?
56.8.5 (Sp). Is there a finite word composed of the letters of Russian alphabet (32 letters) that has
no two identical neighboring subwords but such subwords appear if one ascribes any letter (of the same
alphabet) in front or at the back of this word?
56.8.6 (Ak). A circle centered at D passes through points A, B, and the center O of the escribed circle
of triangle 4ABC tangent to side BC and the extensions of sides AB and AC. Prove that points A, B, C,
and D lie on one circle.
Grade 9
56.9.1 (Sh). For distinct points A and B on a plane, find the locus of points C such that triangle 4ABC
is acute and the value of its angle ∠A is intermediate among the triangle’s angles.
56.9.2 (Ko). Let x
1
= 4, x
2
= 6 and define x
n
for n ≥ 3 to be the least non-prime greater than
2x
n−1
− x
n−2
. Find x
1000
.
1
The authorship of all problems of this olympiad is indicated after the number of the problem by an abbreviation boldfaced:
I. F. Akulich, A. Andzhans, A. Ya. Belov, A. I. Galochkin, G. Galperin, S. B. Gashkov, GZ-B: S. M. Gusein-Zade,
A. Ya. Belov, G. Kondakov, S. V. Konyagin, B. N. Kukushkin, D. Botin, Slitinsky, A. W. Spivak, I. F. Sharygin, S. I. Tokarev,
VI: A. Vladimirov, R. Ismailov, VT: M. Vyaly, D. Tereshin.

---

138
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
56.9.3 (Gal). A paper triangle with angles of 20
◦
, 20
◦
, 140
◦
is cut along one of its bisectors into two
triangles; one of these triangles is also cut along one of its bisectors, etc. Can we obtain a triangle similar
to the initial one after several cuts?
56.9.4 (To). In Pete’s class there 28 students beside him. Each two of these 28 have distinct number of
friends among the classmates. How many friends does Pete have in this class?
56.9.5 (GG). To every pair of numbers x, y the Rule assigns a number x ∗ y. Find 1993 ∗ 1935 if it is
known that
x ∗ x = 0, and x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) + z for any x, y, z.
56.9.6 (Sh). Given a convex quadrilateral ABM C with AB = BC, ∠BAM = 30
◦
, ∠ACM = 150
◦
,
prove that AM is the bisector of ∠BM C.
Grade 10
56.10.1 (Ga). In the representation of numbers A and B as decimal fractions the lengths of their minimal
periods are equal to 6 and 12, respectively. What might the length of the minimal period in the similar
representation of A + B be? Find all answers.
56.10.2 (Ga). The grandfather of Baron K. F. I. von M¨
unchhausen constructed a castle with a square
in the horizontal cross-section. He divided the castle into 9 equal square ball rooms and placed the arsenal
in the middle one. Baron’s father divided each of the remaining 8 ball rooms into 9 equal square halls and
organized winter gardens in all central halls. Baron himself divided each of the 64 empty halls into 9 equal
square rooms and placed a swimming pool in each of the central rooms. Baron furnished the other rooms
and made a door between every pair of neighboring furnished rooms. Baron shut all the other temporary
doors.
Baron boasts that he once managed to go over his furnished rooms visiting each just once and returning
in the initial one. We know Baron as a gentleman with a name for honesty won by his truthful stories, but
still wonder: is he telling the truth in this instance?
56.10.3 (Kon). A river connects two circular lakes of radius 10 km each; the banks of the river and the
lakes are segments of either straight lines or circles. From any point on any of the river’s banks one can take
a boat and reach the other bank by swimming not longer than 1 km. Assuming that the boat is a point is it
possible for a pilot to lead the boat along the river in order to be at the distance of not more than (a) 700
m (b) 800 m away from each of the banks?
56.10.4 (VI). For every pair of real numbers a and b consider the sequence
1