60-odd years of moscow mathematical

a, a is assumed to be symmetric to itself.) Cf. Problem 54.10.5.
54.9.3. Prove that in a regular 12-gon A
1
A
2
. . . A
12
the diagonals A
1
A
5
, A
2
A
6
, A
3
A
8
and A
4
A
11
meet
at one point.
54.9.4. After the graph of the function y =
1
x
for positive x was drawn the coordinate axes were erased
and their directions forgotten. How to recover the erased axes using a ruler and compass?
54.9.5. Cells of a 15 × 15 table contain nonzero numbers such that each of them is equal to the product
of all neighboring numbers. (Two numbers are said to be neighboring if their cells have a common side.)
Prove that all numbers in the table are positive.
Grade 10
54.10.1. A function f satisfies f (x) +
³
x + 12
´
f (1 − x) = 1 for any x ∈ (−∞, ∞). Find a) f (0) and
f (1); b) all such functions f .

---

OLYMPIAD 55 (1992)
135
54.10.2. What is the number n of identical billiard balls that can be arranged in space so that each ball
is tangent to exactly three other balls? List all possible values of n.
54.10.3. Two nonintersecting circles are inscribed in a given angle. An isosceles triangle ABC is placed
between the circles so that its vertices are on the sides of the angle and the equal sides AB and AC are
tangent to the corresponding circles. Prove that the sum of the radii of the circles is equal to the height of
the triangle drawn from vertex A.
54.10.4. We constructed a cube of size 10 × 10 × 10 of 500 black and 500 white small identical cubes
so that the cubes adjacent to each other were of different colors. Several of small cubes were removed from
the cube so that exactly 1 small cube was missing in each of 300 rows or columns of size 1 × 1 × 10 parallel
to an edge of the cube. Prove that the number of black cubes removed is divisible by 4.
54.10.5. A conjurer divided a deck of 54 cards into several piles. A spectator writes the number equal
to the number of cards in the corresponding pile on each card. Then the conjurer mixes the cards in a special
way, divides them into piles again and the spectator writes another number equal to the number of cards in
the new pile to the right of the first number on each card. They repeat this process several times. What
is the least number of deals required for the conjurer to make different cards have different sets of numbers
(whatever their position on the cards)?
Grade 11
54.11.1. Between which digits of the number 1 99...99 1 with 1991-many nines, one should insert a) +
(the summation sign) to get the least possible number; b) × (the multiplication sign) to get the greatest
possible number?
54.11.2. Fig. 97shows an orthogonal projection of the Earth (which is supposed to be an ideal ball)
and its equator, A and B being the common points of the projection of the equator and the circle — the
projection of the Earth).
Figure 97. (Probl. 54.11.2)
How can the projection of the North pole be found with the help of a ruler and compass?
54.11.3. Prove that in a regular 54-gon there are 4 diagonals that do not pass through the center and
meet at one point.
54.11.4. A Parliament of 2000 MPs decided to ratify the state budget of 200 expenditure items. Each
MP prepared a draft budget with what (s)he thinks the maximum possible allocation for each item so
that the total expenditure does not exceed a given ceiling, S. For each item, the Parliament approves the
maximum expenditure approved by not less than k MPs. What is the least value of k to ensure that the
approved total does not exceed S?
54.11.5. On a rectangular screen of size m × n divided into unit cells more than (m − 1) · (n − 1) cells
are lighted. If in a 2 × 2 square 3 cells are not lighted, then the fourth cell switches itself off after a while.
Prove that at least one cell of the screen is lighted at all times.
Olympiad 55
1
(1992)
Grade 8
55.8.1 (Se). Prove that if a + b + c + d > 0, a > c, b > d, then |a + b| > |c + d|.
1
The authorship of all problems of this olympiad is indicated after the number of the problem by an abbreviation boldfaced:
A. Galochkin, S. Gashkov, B. Kukushkin, I. Sergeev, I. Sharygin, A. Skopenkov, A. Spivak, S. Tokarev.

---

136
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
55.8.2 (To). Can it happen during a game of chess that on each of 30 diagonals of the chess-board there
stands an odd number of chips (each own number for each diagonal; some of these numbers may be equal)?
55.8.3 (To). An Olympiad lasted two days. Each participant solved during the first day as many prob-
lems as all other participants together during the second day. Prove that all participants of the Olympiad
solved equal number of problems.
55.8.4 (To). What is the least number of weights in a set which can be divided into either 3, or 4, or 5
piles of equal mass?
55.8.5 (SG). Prove that in a right triangle the length of the bisector of the right angle does not exceed
a half of the projection of the hypotenuse to the line perpendicular to the bisector.
55.8.6 (To). Are there four arrangements of 9 people at a round table such that no two of these people
sit beside each other more than once? (Cf. Problem 55.9.6.)
Grade 9
55.9.1 (To). Each participant of a chess tournament won, as white, as many games as all remaining
players together when they played as black. Prove that all participants won the same number of games each.
(Cf. Problem 55.8.3.)
55.9.2 (AG). Which odd positive integers n < 10000 are more numerous: those for which the number
formed by the four last digits of n
9
is greater than n or those for which it is smaller than n?
55.9.3 (To). At the center of a square pie sits a raisin (of point size). A triangular piece can be cut
off the pie along the line which intersects two neighboring sides of the square at the points different from
vertices of the square; another triangular piece can be cut off the remaining part in the same manner, etc.
Is it possible to cut the raisin off, i.e., to get a piece of the pie with the raisin? (Cf. Problem 55.10.2.)
55.9.4 (Sp). In a 9 × 9 square table, 9 cells are marked: those at the intersection of the 2-nd, 5-th and
8-th rows with the 2-nd, 5-th and 8-th column. In how many ways can one get from the lower left cell to
the upper right one moving only upwards and to the right without entering marked cells?
55.9.5 (Sh). Diagonal AC of trapezoid ABCD is equal to the lateral side CD. The line symmetric to
BD with respect to AD intersects AC at point E. Prove that line AB divides DE in halves.
55.9.6 (To). Is it possible to place 2n + 1 people at a round table n times so that no two sit beside each
other more than once if (a) n = 5, (b) n = 10? (Cf. Problem 55.8.6.)
Grade 10
55.10.1 (AG). Prove that if the sum of cosines of the angles of a quadrilateral is equal to 0 then it is
either a parallelogram, or a trapezoid, or an inscribed quadrilateral.
55.10.2 (To). A triangular piece can be cut off a pie of the form of a convex pentagon along the line that
meets two neighboring sides at points distinct from the vertices; another piece can be cut off the remaining