60-odd years of moscow mathematical

part of the railroad goes through the forest? (V. Proizvolov)
60.9.5. 2n sportsmen twice met at a circle tournament. Prove that if the sum of points of each altered
not less by n (during the second tournament), it altered by exactly n. (V. Proizvolov)
60.9.5. Let 1 + x + x
2
+ · · · + x
n−1
= F (x)G(x), where n > 1 and where F and G are polynomials,
whose coefficients are zeroes and units. Prove that one of the polynomials F and G can be represented in
the form (1 + x + x
2
+ · · · + x
k−1
)T (x), where k > 1 and where T is also a polynomial whose coefficients are
zeroes and units. (V. Senderov, M. Vyaly)
Grade 1
0
60.1.1. Is there a convex body distinct from ball whose three orthogonal projections on three pairwise
perpendicular planes are discs? (A. Kanel-Belov)

---

146
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
60.1.2. Prove that among the quadrilaterals with given lengths of the diagonals and the angle between
them the parallelogram has the least perimeter. (Folklore)
60.1.3. Consider a quadrileteral. a) As the quadrileteral was circumwent clockwise, each side of the
quadrileteral was extended by its length in the direction of the movement. It turned out that the endpoints
of the segments constructed are the vertices of a square. Prove that the initial quadrilateral is a square.
b) Prove that if as a result of the procedure similar to the above-discribed is applicable to an n-gon we
get a regular n-gon, than the initial n-gon is a regular one. (M. Evdokimov)
60.1.4. Given real numbers a
1
≤ a
2
≤ a
3
and b
1
≤ b
2
≤ b
3
such that
a
1
+ a
2
+ a
3
= b
1
+ b
2
+ b
3
,
a
1
a
2
+ a
2
a
3
+ a
1
a
3
= b
1
b
2
+ b
2
b
3
+ b
1
b
3
.
Prove that if a
1
≤ b
1
and a
3
≤ b
3
. (Folklore)
60.1.5. In a circle tournament with more than two participants the coefficient of each participant was
defined to be the sum of points scored by those defeated by the sportsman considered. It turned out that
the coefficients of all participants are equal. Prove that all the partiipants scored equal number of points.
(B. Frenkin)
60.1.6. Consider the powers of 5: 1, 5, 25, 125, 625, . . . Consider the sequesnce formed by their first
digits: 1, 5, 2, 1, 6, . . . Prove that any segment of this sequence written in reverse order will be encountered
in the sequence of the first digits of the powers of 2: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, . . . (A. Kanel-Belov)
Grade 1
1
60.1.1. On sides AB, BC and CA of 4ABC points C
0
, A
0
and B
0
, respectively, are marked. Prove that
the area of 4A
0
B
0
C
0
is equal to
AB
0
· BC
0
· CA
0
+ AC