60-odd years of moscow mathematical

0
· CB
0
· BA
0
4R
,
where R is the radius of hte circumscribed circle of 4ABC. (A. Zaslavsky)
60.1.2. Compute
Z
π/2
0
¡
cos
2
(cos x) + sin
2
(sin x)
¢
dx.
where R is the radius of hte circumscribed circle of 4ABC. (M. Vyaly)
60.1.3. Consider three functions:
f
1
(x) = x +
1
x
,
f
2
(x) = x
2
,
f
3
(x) = (x − 1)
2
.
The Rule lets you to add subtract and multiply these functions (in particular, you can square and raise to
higher powers, etc.), multiply by an arbitrary number, add an arbitrary number to your result and perform
the above described operations with the expressions obtained. Get in this way
1
x
. Prove that if one of the
functions f
1
, f
2
or f
3
is taken out of the consideration, then it is impossible to get
1
x
in the way described.
(M. Evdokimov)
60.1.4. Is it possible to divide a regular tetrahedron with edge 1 into regular tetrahedrons and octahe-
drons with the lengths of their edges less than
1
100
? (V. Proizvolov)
60.1.5. Positive numbers a, b and c are such that abc01. Prove that
1
1 + a + b
+
1
1 + b + c
+
1
1 + c + a
≤ 1.
(G. Galperin)
60.1.6. On the plane, consider a finite number of strips with the sum of their widths equal to 100 and a
disc of radius 1. Prove that it is possible to translate parallelly each strip so that the totality of translated
strips will cover the disc. (M. Smurov)

---

SELECTED PROBLEMS OF MOSCOW MATHEMATICAL CIRCLES
147
Selected problems of Moscow mathematical circles
The following are problems we find most interesting among those offered to the participants of mathe-
matical clubs, to the winners of the Moscow Olympiads when they were coached to International Olympiads
and also some problems from the archives of the Moscow Olympiad jury which were not used in any of the
tournaments, and, therefore, are not well known. The grade for which the problem was intended is given in
parentheses.
1.(7-9). a) Find the sum of the digits of the number 123456789101112 . . . 999998999999.
b) How many digits 7 are there in this number?
2.(8-10). Find the least positive integer ab...c without any zeroes in its decimal notation, such that its
sum with itself written in reverse order (i.e. the sum with the number c...ba), is a number whose digits can
be obtained by a permutation of the digits of the original number.
3.(9-10). Are there irrational numbers x and y for which x
y
is a rational number?
4.(8-10). We place 1’s and −1’s at the vertices of a cube, one number per vertex. In the center of each
face we put the product of the numbers at the vertices of this face. Can the sum of the 14 numbers obtained
be equal to 0? Can it be equal to 7?
5.(8-10). a) There is a finite number of stars in space. The number of and directions to visible stars can
be determined from an observation post. No single observation, however, determines the exact number of
stars, as some might be hidden behind the others. It is only possible to say, after several observations, that
the number of stars in the sky is not less than the greatest of the numbers of stars visible from observation
posts. Can the exact number of stars in the sky be still determined after several observations? If so, what
is the least number of observation posts needed to ascertain the exact number of stars in space?
b) Solve the same problem on a Flatland, the planar Universe.
6.(7-9). Consider n identical cars on a circular highway. The total quantity of fuel in all these cars is
enough for one of them to cover the whole circle. Is it possible to find a car that can drive around the entire
circle by borrowing fuel from other cars along the way for any arrangement of cars and distribution of fuel
among them?
7.(8-10). Find non-negative integer solutions of the equation: