60-odd years of moscow mathematical

parts, the point M divides the leg AC in ratio 1 : 2 counting from the vertex A. Prove that ∠AKM +
∠ALM = 30
◦
. (V. Proizvolov)
59.8.5. A rook stands in a corner of an n × n chess board. For what n, moving alternately along
horizontals and verticals, the rook can visit all the cells of the board and return to the initial corner after
n
2
moves? (A cell is visited only if the rook stops on it, those that the rook “flew over” during the move are
not counted as visited.) (A. Spivak)
59.8.6. Eight students solved 8 problems. a) It turned out that each problem was solved by 5 students.
Prove that there are two students such that each problem is solved by at least one of them.
b) If it turned out that each problem was solved by 4 students, it can happen that there is no pair of
students such that each problem is solved by at least one of them. (Give an example.) (S. Tokarev)
Grade 9
59.9.1. Numbers a, b and c satisfy inequalities |a − b| ≥ |c|, |b − c| ≥ |a|, |c − a| ≥ |b|. Prove that one
of the numbers a, b or c is equal to the sum of the other two numbers. (A. Galochkin)
59.9.2. The circle is circumscribed about 4ABC; through the points A and B tangents are drawn, they
meet at M . The point N lies on the leg BC, and M N k AC. Prove that AN = N C. (I. F. Sharygin)
59.9.3. Integers 1 to n are written in a row. Under them, the same numbers are written in some other
order. Could it happen that the sum of each number with the one under it is a perfect square? Consider a)
n = 9, b) n = 11, c)n = 1996? (P. Filevich)
59.9.4. Let A and B be points on a circle. They divide the circle into two parts. Find the locus of the
midpoints of all chords whose endpoints lie on different arcs
˘
AB. (I. F. Sharygin)

---

144
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
59.9.5. Ali-Baba and a robber divide a treasure consisting of 100 golden coins. The treasure is split
into 10 piles of 10 coins. Ali-Baba chooses 4 piles, places a mug beside each pile, and puts several coins (not
less than 1, but not the whole pile) from the respective pile into each mug. The robber must rearrange the
mugs by altering their initial attribution to piles, after which the coins are taken out from each mug and
added to the newly attributed pile.
Then Ali-Baba again selects 4 piles of 10, places mugs beside the piles, etc.
At any moment Ali-Baba can quit and go away with any 3 mugs he chooses. The remaining coins will
be the robber’s share. What is the greatest number of coins Ali-Baba can collect, if the robber is no altruist
either? (A. Ja. Belov)
Grade 10
59.10.1. Positive numbers a, b and c satisfy a
2
+ b
2
− ab = c
2
. Prove that (a − c)(b − c) ≤ 0. (A. Egorov,
V. Bugaenko)
59.10.2. In a 10 × 10 square drawn on a graph paper along its lines, the centers of all unit squares (100
points altogether) are marked. What is the least number of straight lines non parallel to the sides of big
square and passing through all the points marked? (A. Shapovalov)
59.10.3. The points P
1
, P
2
, . . . , P
n−1
divide the side BC of an equilateral triangle 4ABC into n equal
segments: BP
1
= P
1
P
2
= · · · = P