60-odd years of moscow mathematical

Tour 2.2
2.2.1. Solve the system:
½
x + y = a,
x
5
+ y
5
= b
5
.
2.2.2. Given an angle less than 180
◦
, and a point M outside the angle. Draw a line through M so that
the triangle, whose vertices are the vertex of the angle and the intersection points of its legs with the line
drawn, has a given perimeter.
2.2.3. The lengths of a rectangle’s sides and of its diagonal are integers. Prove that the area of the
rectangle is an integer multiple of 12.

---

OLYMPIAD 4 (1938)
25
2.2.4. How many ways are there to represent 10
6
as the product of three factors? Factorizations which
only differ in the order of the factors are considered to be distinct.
2.2.5. Given three planes and a ball in space. In space, find the number of different ways of placing
another ball so that it would be tangent the three given planes and the given ball.
Olympiad 3 (1937)
Tour 3.1
3.1.1. Solve the system:



x + y + z = a,
x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
,
x
3
+ y
3
+ z
3
= a
3
.
3.1.2*. On a plane two points A and B are on the same side of a line. Find point M on the line such
that M A + M B is equal to a given length.
3.1.3. Two segments slide along two skew lines. Consider the tetrahedron with vertices at the endpoints
of the segments. Prove that the volume of the tetrahedron does not depend on the position of the segments.
Tour 3.2
3.2.1. Given three points that are not on the same straight line. Three circles pass through each pair
of the points so that the tangents to the circles at their intersection points are perpendicular to each other.
Construct the circles.
3.2.2*. Given a regular dodecahedron. Find how many ways are there to draw a plane through it so
that its section of the dodecahedron is a regular hexagon?
3.2.3. Into how many parts can an n-gon be divided by its diagonals if no three diagonals meet at one
point?
Olympiad 4 (1938)
Tour 4.1
4.1.? (See footnote 1 to Historical remarks.) In space 4 points are given. How many planes equidistant
from these points are there? Consider separately (a) the generic case (the points given do not lie on a single
plane) and (b) the degenerate cases.
Tour 4.2
4.2.1. The following operation is performed over points O
1
, O
2
, O
3
and A in space. The point A is
reflected with respect to O
1
, the resultant point A
1
is reflected through O
2
, and the resultant point A
2
through O
3
. We get some point A
3
that we will also consecutively reflect through O
1
, O
2
, O
3
. Prove that
the point obtained last coincides with A; see Fig. 1.
Figure 1. (Probl. 4.2.1)
4.2.2. What is the largest number of parts into which n planes can divide space?

---

26
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
4.2.3. Given the base, height and the difference between the angles at the base of a triangle, construct
the triangle.
4.2.4. How many positive integers smaller than 1000 and not divisible by 5 and by 7 are there?
Olympiad 5 (1939)