60-odd years of moscow mathematical

,
1 − x
2
2
= x
3
,
. . . . . . . . . . . . . .
1 − x
2
98
= x
99
,
1 − x
2
99
= x
1
.
(Cf. Problem 20.2.10.2.)
20.2.9.3. A radio lamp has a 20-contact plug, with the contacts arranged in a circle. The plug is inserted
into a socket with 20 holes. Let the contacts in the plug and the socket be already numbered. Is it always
possible to insert the plug so that none of the contacts matches its socket? (Cf. Problem 20.2.7.2.)
20.2.9.4. Represent 1957 as the sum of 12 positive integer summands a
1
, a
2
, . . . , a
12
for which the
number a
1
! · a
2
! · a
3
! · · · · · a
12
! is minimal.
20.2.9.5*. Three equal circles are tangent to each other externally and to the fourth circle internally.
Tangent lines are drawn to the circles from an arbitrary point on the fourth circle. Prove that the sum of
the lengths of two tangent lines equals the length of the third tangent. (Cf. Problem 20.2.8.2.)
Grade 10
20.2.10.1. Given quadrilateral ABCD and the directions of its sides. Inscribe a rectangle in ABCD.
20.2.10.2*. Find all real solutions of the system :











1 − x
2
1
= x
2
,
1 − x
2
2
= x
3
,
. . . . . . . . . . . . . .
1 − x
2
n−1
= x
n
,
1 − x
2
n
= x
1
.

---

58
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
20.2.10.3. Point G is the center of the sphere inscribed in a regular tetrahedron ABCD. Straight line
OG connecting G with a point O inside the tetrahedron intersects the faces at points A
0
, B
0
, C
0
, D
0
. Prove
that
A
0
O
A
0
G
+
B
0
O
B
0
G
+
C
0
O
C
0
G
+
D
0
O
D
0
G
= 4.
(Cf. Problem 20.2.8.3.)
20.2.10.4. Prove that the number of all digits in the sequence 1, 2, 3, . . . , 10
k
is equal to the number
of all zeros in the sequence 1, 2, 3, . . . , 10
k+1
.
20.2.10.5. Given n integers a
1
= 1, a
2
, . . . , a
n
such that
a
i
≤ a
i+1
≤ 2a
i
(i = 1, 2, 3, . . . , n − 1)
and whose sum is even, find whether it is possible to divide them into two groups so that the sum of numbers
in one group is equal to the sum of numbers in the other group.

---

OLYMPIAD 21 (1958)
59
Olympiad 21 (1958)
Tour 21.1
Grade 7
21.1.7.1. In the following system :





∗x + ∗y + ∗z = 0,
∗x + ∗y + ∗z = 0,