7-ma`ruza Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari

2

0

.  Funksiyaning  chegaralanganligi. 

( )

x

f

  funksiya 

R

X

⊂

  to`plamda  berilgan 

bo`lsin. 

2-ta`rif.  Agar  shunday  o`zgarmas 

M

  soni  topilsaki,   

X

x

∈

∀

  uchun 

( )

M

x

f

≤

 

tengsizlik  bajarilsa, 

( )

x

f

  funksiya 

X

  to`plamda  yuqoridan  chegaralangan  deyiladi.  Agar 

shunday  o`zgarmas 

m

  soni  topilsaki, 

X

x

∈

∀

  uchun 

( )

m

x

f

≥

  tengsizlik  bajarilsa, 

( )

x

f

 

funksiya 

X

 to`plamda quyidan chegaralan-gan deyiladi.  

3-ta`rif. Agar 

( )

x

f

 funksiya 

X

 to`plamda ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan 

bo`lsa, 

( )

x

f

 funksiya 

X

 to`plamda chegaralangan deyiladi. 

1-misol.  Ushbu 

4

2

1

1

)

(

x

x

x

f

+

+

=

  funksiyani  qaraylik.  Bu  funksiya 

R

  da  chegaralangan 

bo`ladi. 

◄ Ravshanki, 

R

x

∈

∀

 da  

0

1

1

)

(

4

2

>

+

+

=

x

x

x

f

. 

Demak, berilgan funksiya R  da quyidan chegaralangan. 

Ayni paytda, 

( )

x

f

 funksiya uchun  

4

2

4

2

4

1

1

1

1

1

)

(

x

x

x

x

x

x

f

+

+

≤

+

+

+

=

 

bo`ladi. endi 

2

1

1

1

2

1

2

)

1

(

0

4

2

4

2

2

4

2

2

≤

+

⇒

+

≤

⇒

+

−

=

−

≤

x

x

x

x

x

x

x

 

bo`lishini e`tiborga olib, topamiz:  

.

2

3

2

1

1

)

(

=

+

≤

x

f

 

Bu  esa 

( )

x

f

  funksiyaning  yuqoridan  chegaralanganligini  bildiradi.  Demak,  berilgan  funksiya 

R

 da chegaralangan. ► 

4-ta`rif. Agar har qanday 

0

>

M

 son olinganda ham shunday 

X

x

∈

0

 nuqta topilsaki,  

( )

M

x

f

>

0

 

 

59 

tengsizlik bajarilsa, 

( )

x

f

 funksiya 

X

 to`plamda yuqoridan chegaralanmagan deyiladi. 

3

0

.  Davriy  funksiyalar.  Juft  va  toq  funksiyalar. 

( )

x

f

  funksiya 

R

X

⊂

  to`plamda 

berilgan  bo`lsin. 

5-ta`rif.  Agar shunday o`zgarmas 

(

)

0

≠

T

T

 son mavjud bo`lsaki, 

X

x

∈

∀

 uchun  

1)  

X

T

x

∈

−

, 

X

T

x

∈

+

   

2)  

(

) ( )

x

f

T

x

f

=

+

 

bo`lsa, 

( )

x

f

 davriy funksiya deyiladi, 

T

 son esa 

( )

x

f

 funksiyaning davri deyiladi. 

Masalan, 

( )

x

x

f

sin

=

, 

( )

x

x

f

cos

=

  funksiyalar  davriy  funksiyalar  bo`lib,  ularning 

davri 

π

2

 ga, 

( )

tgx

x

f

=

, 

( )

ctgx

x

f

=

 funksiyalarning davri esa 

π

 ga  teng. 

Davriy funksiyalar quyidagi xossalarga ega: 

a) Agar 

( )

x

f

 davriy funksiya bo`lib, uning davri 

(

)

0

≠

T

T

 bo`lsa, u holda  

(

)

,

2

,

1

±

±

=

=

n

nT

T

n

 

sonlar ham shu funksiyaning davri bo`ladi. 

b)   Agar 

1

T

 va 

2

T

 sonlar 

( )

x

f

 funksiyaning davri  bo`lsa, u holda 

0

2

1

≠

+

T

T

 hamda 

(

)

2

1

2

1

T

T

T

T

≠

−

 sonlar ham 

( )

x

f

 funksiya-ning davri bo`ladi. 

v)    Agar 

( )

x

f

  hamda 

( )

x

g

  lar  davriy  funksiyalar  bo`lib,  ularning  har  birining  davri  

(

)

0

≠

T

T

 bo`lsa, u holda 

( ) ( )

x

g

x

f

+

,   

( ) ( )

x

g

x

f

−

,   

( ) ( )

x

g

x

f

⋅

,   

)

(

)

(

x

g

x

f

   

( )

(

)

0

≠

x

g

 

funksiyalar ham davriy funksiyalar bo`lib, 

T

 son ularning ham davri bo`ladi. 

2-misol. Ixtiyoriy 

(

)

0

≠

T

T

 ratsional son  Dirixle funksiyasi  







=

бўлса

 

сон

 

иррационал

агар

,

0

,

бўлса

 

сон

 

рационал

агар

,

1

)

(

x

x

x

D

 

ning davri bo`lishi ko`rsatilsin. 

◄ Aytaylik, 

(

)

0

≠

T

T

 ratsional son bo`lsin. Ravshanki, 

R

x

∈

∀

 irratsional son uchun 

T

x

+

– irratsional son, 

R

x

∈

∀

 ratsional son uchun  

T

x

+

 ratsional son bo`ladi. Demak,  







=

+

бўлса

 

сон

 

иррационал

агар

,

0

,

бўлса

 

сон

 

рационал

агар

,

1

)

(

x

x

T

x

D

 

SHunday qilib, 

R

x

∈

∀

,  

T

- ratsional son bo`lganda 

(

) ( )

x

D

T

x

D

=

+

 

bo`ladi. ► 

Ma`lumki,

(

)

R

X

X

x

⊂

∈

∀

 uchun 

−

 

X

x

∈

 bo`lsa, X to`plam 

O

 nuqtaga nisbatan 

simmetrik to`plam deyiladi.  

Aytaylik, 

O

 nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan 

X

 to`plamda  

( )

x

f

 funksiya berilgan 

bo`lsin. 

6-ta`rif.  Agar 

X

x

∈

∀

  uchun 

( ) ( )

x

f

x

f

=

−

  tenglik  bajaril-sa, 

( )

x

f

  juft  funksiya 

deyiladi.  Agar 

X

x

∈

∀

  uchun 

( )

( )

x

f

x

f

−

=

−

  tenglik  bajarilsa, 

( )

x

f

  toq  funksiya 

deyiladi. 

 

60 

Masalan, 

( )

1

2

+

=

x

x

f

  juft funksiya, 

( )

x

x

x

f

+

=

3

 esa toq funksiya  bo`ladi. Ushbu 

( )

x

x

x

f

−

=

2

 funksiya juft ham emas, toq ham emas. 

Agar  

( )

x

f

 va  

( )

x

g

  juft funksiyalar bo`lsa, u holda 

( ) ( )

x

g

x

f

+

,   

( ) ( )

x

g

x

f

−

,   

( ) ( )

x

g

x

f

⋅

,   

)

(

)

(

x

g

x

f

   

( )

(

)

0

≠

x

g

 

funksiyalar ham juft bo`ladi. 

Agar 

( )

x

f

 va  

( )

x

g

 toq funksiyalar bo`lsa, u holda 

( ) ( )

x

g

x

f

+

,  

( ) ( )

x

g

x

f

−

 

funksiyalar toq bo`ladi,  

( ) ( )

x

g

x

f

⋅

,       

)

(

)

(

x

g

x

f

   

( )

(

)

0

≠

x

g

 

funksiyalar esa juft bo`ladi. 

Juft  funksiyaning 

grafigi  ordinatalar  o`qiga  nis-batan,  toq  funksiyaning  grafigi  esa 

kordinatalar boshiga nisbatan simmetrik joylashgan bo`ladi. 

4

0

.  Monoton  funksiyalar.  Faraz  qilaylik, 

( )

x

f

  funksiya 

R

X

⊂

  to`plamda  berilgan 

bo`lsin. 

7-ta`rif.  Agar 

X

x

x

∈

∀

2

1

,

  uchun 

2

1

x

x

<

  bo`lganda 

( ) ( )

2

1

x

f

x

f

≤

  tengsizlik 

bajarilsa, 

( )

x

f

 funksiya 

X

 to`plamda o`suvchi deyiladi. Agar 

X

x

x

∈

∀

2

1

,

 uchun 

2

1

x

x

<

 

bo`lganda 

( ) ( )

2

1

x

f

x

f

<

 tengsizlik  bajarilsa, 

( )

x

f

  funksiya 

X

  to`plamda  qat`iy  o`suvchi 

deyiladi. 

8-ta`rif.  Agar 

X

x

x

∈

∀

2

1

,

  uchun 

2

1

x

x

<

  bo`lganda   

( ) ( )

2

1

x

f

x

f

≥

  tengsizlik 

bajarilsa, 

( )

x

f

  funksiya 

X

  to`plamda  kamayuvchi  deyiladi.  Agar 

X

x

x

∈

∀

2

1

,

  uchun 

2

1

x

x

<

 bo`lganda  

( ) ( )

2

1

x

f

x

f

>

 tengsizlik bajarilsa, 

( )

x

f

 funksiya 

X

 to`plamda qat`iy 

kamayuvchi deyiladi. 

O`suvchi  hamda  kamayuvchi  funksiyalar  umumiy  nom  bilan  monoton  funksiyalar 

deyiladi. 

3-misol.  Ushbu   

2

1

)

(

x

x

x

f

+

=

  funksiyaning 

[

)

∞

+

=

,

1

X

  to`p-lamda  kamayuvchi 

ekanligi isbotlansin. 

◄ 

[

)

∞

+

,

1

 da ixtiyoriy 

1

x

 va 

2

x

 nuqtalarni olib, 

2

1

x

x

<

 bo`lsin deylik. Unda 

=

+

+

−

−

+

=

+

−

+

=

−

)

1

)(

1

(

1

1

)

(

)

(

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

 

 

)

1

)(

1

(

)

1

)(

(

)

1

)(

1

(

)

(

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

2

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+

⋅

−

−

=

+

+

−

⋅

+

−

=

 

bo`ladi. Keyingi tenglikda  

0

2

1

<

−

x

x

,      

0

1

2

1

<

⋅

−

x

x

 

bo`lishini e`tiborga olib,  

( ) ( )

0

2

1

>

−

x

f

x

f

 

ya`ni, 

( ) ( )

2

1

x

f

x

f

>

 ekanini topamiz. Demak,  

( ) ( )

2

1

2

1

x

f

x

f

x

x

>

⇒

<

.► 

 

61 

Aytaylik, 

( )

x

f

 va 

( )

x

g

  funksiyalar 

R

X

⊂

 to`plamda o`suvchi (kamayuvchi)  bo`lib, 

const

C

=

 bo`lsin. U holda 

a) 

( )

C

x

f

+

 funksiya o`suvchi (kamayuvchi) bo`ladi. 

b) 

0

>

C

  bo`lganda 

( )

x

f

C

⋅

  o`suvchi, 

0

<

C

  bo`lganda 

( )

x

f

C

⋅

    kamayuvchi 

bo`ladi. 

v)  

( ) ( )

x

g

x

f

+

 funksiya o`suvchi (kamayuvchi) bo`ladi. 

5

0

.  Teskari  funksiya.  Murakkab  funksiyalar. 

( )

x

f

y

=

  funksiya 

R

X

⊂

  to`plamda 

berilgan bo`lib, bu funksiyaning qiymatlaridan iborat to`plam  

}

|

)

(

{

X

x

x

f

Y

f

∈

=

 

bo`lsin. 

Faraz qilaylik, biror qoidaga ko`ra 

f

Y

, to`plamdan olingan har bir 

y

 ga 

X

 to`plamdagi 

bitta   

x

  mos  qo`yilgan  bo`lsin.  Bunday  moslik  natijasida  funksiya  hosil  bo`ladi.  Odatda,  bu 

funksiya 

( )

x

f

y

=

 ga nisbatan teskari funksiya deyiladi va 

)

(

1

y

f

x

−

=

 kabi belgilanadi. 

Masalan, 

1

2

1

+

=

x

y

 funksiyaga nisbatan teskari funksiya 

1

2

−

=

y

x

 bo`ladi. 

YUqorida  aytilganlardan 

( )

x

f

y

=

 da 

x

  argument, 

y

  esa 

x

 ning  funksiyasi,  teskari 

)

(

1

y

f

x

−

=

 funksiyada 

y

 argument,  

x

 esa 

y

 ning funksiyasi bo`lishi ko`rinadi. 

Qulaylik  uchun  teskari  funksiya  argumenti  ham 

x

,  uning  funksiyasi 

y

  bilan  

belgilanadi:  

( )

x

g

y

=

. 

( )

x

f

y

=

 ga  nisbatan  teskari 

( )

x

g

  funksiya  grafigi 

( )

x

f

    funksiya  grafigini  I  va  III 

choraklar bissektrisasi atrofii-da 180

0

 ga aylantirish natijasida hosil bo`ladi. 

Aytaylik, 

f

Y

  to`plamda 

( )

y

F

u

=

  funksiya  berilgan  bo`lsin.  Natijada 

X

  to`plamdan 

olingan har bir 

x

 ga 

f

Y

 to`plamda bitta 

y

: 

)),

(

(

:

x

f

y

y

x

f

=

→

 

va 

f

Y

 to`plamdagi bunday  

y

 songa bitta 

u

:  

))

(

(

:

y

F

u

u

y

F

=

→

 

son  mos  qo`yiladi.  Demak, 

X

  to`plamdan olingan  har  bir 

x

  songa  bitta 

u

  son  mos qo`yilib, 

yangi  funksiya  hosil  bo`ladi: 

( )

(

)

x

f

F

u

=

.  Odatda  bunday  funksiyalar  murakkab  funksiya 

deyiladi.