7-ma`ruza Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari
Download 225.59 Kb. Pdf ko'rish
|
7-12 Маруза 41-80 lotin
- Bu sahifa navigatsiya:
- 11-ma`ruza Elementar funksiyalar
- 12-ma`ruza Funksiya limiti 1 0 . To`plamning limit nuqtasi.
|
Mashqlar
1. ( ) x f funksiyaning R X ⊂ to`plamda quyidan chegaralan-maganligi ta`rifi keltirilsin. 2.
O nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan R X ⊂ to`plamda berilgan har qanday ( ) x f
funksiya juft va toq funksiyalar yig`indisi ko`rinishida ifodalanishi isbotlansin. 3. Ushbu 1 1 ) ( 2 + =
x f funksiyaning [ )
+ = , 0 X to`plamda kamayuvchi ekani isbotlansin. 4. Agar x x f − = 1 1 ) ( bo`lsa, ))) (
( x f f f topilsin. 62
11-ma`ruza Elementar funksiyalar Elementar funksiyalar kitobxonga o`rta maktab matematika kursidan ma`lum. Biz quyida elementar funksiyalar haqidagi asosiy ma`lumotlarni bayon etamiz.
Ushbu
n n n n x a x a x a x a a y + + + + + = − − 1 1 2 2 1 0 ...
ko`rinishdagi funksiya butun ratsional funksiya deyiladi. Bunda n a a a ,...,
, 1 0 – o`zgarmas sonlar,
N n ∈ . Bu funksiya ) , ( ∞ + −∞ = R da aniqlangan. Butun ratsional funksiyaning ba`zi xususiy hollari:
) 0 ( ≠ + = a b aх y
ko`rinishga ega, bunda b a , o`zgarmas sonlar. CHiziqli funksiya ) , ( ∞ + −∞ da aniqlangan 0 >
bo`lganda o`suvchi, 0
a
bo`lganda kamayuvchi: grafigi tekislikdagi to`g`ri chiziqdan iborat. b) Kvadrat funksiya. Bu funksiya ) 0 ( 2 ≠ + + = a c bx aх y
ko`rinishga ega, bunda c b a , , – o`zgarmas sonlar. Kvadrat funksiya R da aniqlangan bo`lib, uning grafigi parabolani ifodalaydi. Ravshanki, . 4 4 2 2 2 2
ac b a b x а c bx aх y − − + = + + =
Parabolaning tekislikda joylashishi a hamda
ac b D 4 2 − = larning ishorasiga bog`liq bo`ladi. Masalan, 0 > a , 0 > D va
0 < a , 0 < D bo`lganda uning grafigi 3-chizmada tasvirlangan parabolalar ko`rinishida bo`ladi.
3-chizma. 2 0 . Kasr ratsional funksiyalar. Ushbu m m n n x b x b x b b x a x a x a a y + + + + + + + + = ...
... 2 2 1 0 2 2 1 0 ko`rinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi. Bunda n a a a ...,
, , 1 0 va
m b b b ...,
, , 1 0
lar o`zgarmas sonlar N n ∈ , N m ∈ . Bu funksiya } 0 ... | { \ ) , ( 1 0 = + + + ∞ + −∞ = m m x b x b b x X
to`plamda aniqlangan. 63
Kasr ratsional funksiyaning ba`zi xususiy hollari: a) Teskari proportsional bog`lanish. U ) 0 ( const а х х a y = ≠ =
ko`rinishga ega. Bu funksiya } 0 { \ ) , 0 ( ) 0 , ( R X = +∞ −∞ = U to`plamda aniqlangan, toq funksiya, a ning ishorasiga qarab funksiya ) 0
( −∞ va ) , 0 ( ∞ + oraliqlarning har birida kamayuv-chi yoki o`suvchi bo`ladi (4-chizma).
4-chizma b) Kasr chiziqli funksiya. U ushbu d cх b aх y + + =
ko`rinishga ega. Bu funksiya ) 0 ( \ ≠ − = c c d R X
to`plamda aniqlangan:
Ravshanki, . 1 2 c a c d х c ad bc d cх b aх y + + ⋅ − = + + = Demak,
. , , , 2 = = − = + + = c a c d c ad bc х y γ β α γ β α
Uning grafigini x a y = funksiya grafigi yordamida chizish mumkin. 3 0 . Darajali funksiya. Ushbu ) 0 ( , ≥ = x x y a
ko`rinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi. 64
Bu funksiyaning aniqlanish to`plami a ga bog`liq. Darajali funksiya 0 >
, bo`lganda ) , 0 ( ∞ + da o`suvchi, 0
bo`lganda kamayuvchi bo`ladi. а х у = funksiya grafigi tekislik- ning ( ) 0 , 0 va ( )
1 , 1 nuqtalaridan o`tadi. 4 0 . Ko`rsatkichli funksiya. Ushbu х а у =
ko`rinishdagi funksiya ko`rsatkichli funksiya deyiladi. Bunda R a ∈ , 0 >
, 1
a . Ko`rsatkichli funksiya ) , ( ∞ + −∞ aniq-langan, R х ∈ ∀ da 0 > x a ; 1 > a bo`lganda o`suvchi; 1 0 < < a bo`lganda kamayuvchi bo`ladi. Xususan,
= bo`lsa, matematikada muhim rol o`ynaydi-gan х е у = funksiya hosil bo`ladi. Ko`rsatkichli funksiyaning grafigi Ox o`qidan yuqorida joylashgan va tekislikning ( ) 1
0 nuqtasidan o`tadi. 5 0 . Logarifmik funksiya. Ushbu x у а log
=
ko`rinishdagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi. Bunda 0 >
, 1
a . Logarifmik funksiya ) , 0 ( ∞ + da aniqlangan, х а у = funk-tsiyaga nisbatan teskari; 1 >
bo`lganda o`suvchi, 1 0 < < a bo`lganda kamayuvchi bo`ladi. Logarifmik funksiyaning grafigi
o`qining o`ng tomonida joylashgan va tekislikning ( ) 1
0 nuqtasidan o`tadi. 6 0 . Trigonometrik funksiyalar. Ushbu ecx y x y ctgx y tgx y x y x у cos
, sec
, , , cos , sin = = = = = = funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi. x y x у cos
, sin
= = funksiyalar ) , ( ∞ + −∞ = R da aniqlangan, π 2 davrli funksiyalar R х ∈ ∀ da 1 cos 1 , 1 sin 1 ≤ ≤ − ≤ ≤ −
x
bo`ladi. Ushbu , tgx y =
funksiya ± ± = + = ∈ = ... , 2 , 1 , 0 ; 2 ) 1 2 ( | \
k x R x R X π
to`plamda aniqlangan π davrli funksiya, x x x cosec
, sec
, ctg
funksiyalar x x x tg , cos , sin lar orqali quyidagicha ifodala-nadi: x ecx x x tgx ctgx sin
1 cos
, cos
1 sec
, 1 = = = . 7 0 . Giperbolik funksiyalar. Ko`rsatkichli х e у = funk-tsiya yordamida tuzilgan ushbu x x x x x x x x x x x x е е е е е е е е е е е е − − − − − − − + + − + − , , 2 , 2 funksiyalar giperbolik (mos ravishda giperbolik sinus, giperbolik kosinus, giperbolik tangens, giperbolik katangens) funksiyalar deyiladi va ular quyidagicha 65
x x x x x x x x x x x x е е е е cthx е е е е thx е е chx е е shx − − − − − − − + = + − = + = − = , , 2 , 2
belgilanadi. 8 0 . Teskari trigonometrik funksiyalar. Ma`lumki, x y sin
= funksiya R da
aniqlangan va uning qiymatlari to`plami ] 1 , 1 [ − =
Y
bo`ladi. Agar − ∈ 2 , 2 π π x bo`lsa, u holda
− = 2 , 2
π X va
] 1 , 1 [ − = f Y
to`plamlarning elementlari o`zaro bir qiymatli moslikda bo`ladi. x y sin
= funksiyaga nisbatan teskari funksiya x аrc у sin
=
kabi belgilanadi. SHunga o`xshash ctgx y tgx y x y = = = , , cos funksiyalarga nis-batan teskari funksiyalar mos ravishda , , , arccos
arcctgx y arctgx y x y = = =
kabi belgilanadi. Ushbu x аrc у sin
= ,
аrc у cos
= ,
у = , аrcctgx у = funksiya-lar teskari trigonometrik funksiyalar deyiladi.
1.
2 x y = funksiya grafigiga ko`ra c bx ax y + + = 2 funksiya-ning grafigi chizilsin. 2. x y 1 = funksiya grafigiga ko`ra d cx b ax y + + =
funksiyaning grafigi chizilsin.
66
12-ma`ruza Funksiya limiti
0 . To`plamning limit nuqtasi. Aytaylik, biror R X ⊂ to`plam va R x ∈ 0 nuqta berilgan bo`lsin. 1-ta`rif. Agar 0
nuqtaning ixtiyoriy ) 0 ( ) , ( ) ( 0 0 0 > ∀ + − =
ε ε ε x x x U
atrofida X to`plamning 0
nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo`lsa, ya`ni ε ε < − ≠ ∈ ∃ > ∀ | | : , , 0 0 0 x x x x X x
bo`lsa, 0 x nuqta
X to`plamning limit nuqtasi deyiladi. Misollar. 1. ] 1 , 0 [ = X to`plamning har bir nuqtasi shu to`plamning limit nuqtasi bo`ladi.
) 1 , 0 ( = X to`plamning har bir nuqtasi va 1 ,
= =
x nuqtalar shu to`plamning limit nuqtalari bo`ladi.
= ...
, 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1
to`plamning limit nuqtasi 0 0 = x bo`ladi. 4. ...}
, 3 , 2 , 1 { = = N X to`plam limit nuqtaga ega emas. 2-ta`rif. Agar 0
nuqtaning ixtiyoriy )) , ( ) ( ( ) , ( ) ( 0 0 0 0 0 0 x x x U x x x U ε ε ε ε − = + = − + ) 0 ( > ∀ ε
o`ng atrofida (chap atrofida) X to`plamning kamida bitta nuqtasi bo`lsa, 0
nuqta
X
to`plamning o`ng (chap) limit nuqtasi deyiladi. Download 225.59 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|