7-ma`ruza Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari
Download 225.59 Kb. Pdf ko'rish
|
7-12 Маруза 41-80 lotin
|
3-ta`rif. Agar ixtiyoriy R с ∈ uchun } | { ) (
x R x U c > ∈ = +∞
to`plamda X to`plamning kamida bitta nuqtasi bo`lsa, " "
+
to`plamning limit «nuqta»si deyiladi. Agar ixtiyoriy
∈ uchun } | { ) (
x R x U c < ∈ = ∞ −
to`plamda X to`plamning kamida bitta nuqtasi bo`lsa, " "
−
to`plamning limit «nuqta»si deyiladi. Keltirilgan ta`rif va misollardan ko`rinadiki, to`plamning limit nuqtasi shu to`plamga tegishli bo`lishi ham, bo`lmasligi ham mumkin ekan. 1-teorema. Agar R x ∈ 0 nuqta R X ⊂ to`plamning limit nuqtasi bo`lsa, u holda 0 x
nuqtaning har qanday ) 0 ( ) , ( ) ( 0 0 0 > ∀ + − = ε ε ε ε x x x U
atrofida X to`plamning cheksiz ko`p nuqtalari bo`ladi. ◄Aytaylik, 0
nuqta
to`plamning limit nuqtasi bo`lsin. Teorema tasdig`ining teskarisini faraz qilaylik: 0
nuqtaning biror ) ( 0 0
U δ atrofida X to`plamning chekli sondagi n x x x ...,
, , 2 1 nuqtalarigina bo`lsin. U holda δ δ = − − − } |, | ..., |, | |, {| min
0 0 2 0 1 0 n x x x x x x
deb olinsa, 0 x nuqtaning ) (
x U δ atrofida X to`plamning 0
dan farqli bitta ham nuqtasi bo`lmaydi. Bu esa 0
nuqta
to`plamning limit nuqtasi bo`lishiga ziddir. ► 67
2-teorema. Agar 0
nuqta
⊂ to`plamning limit nuqta-si bo`lsa, u holda shunday sonlar ketma-ketligi } { n x topila-diki, 1)
∈ ∀ da 0 , x x X x n n ≠ ∈ ;
2) ∞ →
da 0
x n →
bo`ladi. ◄Aytaylik, R x ∈ 0 nuqta R X ⊂ to`plamning limit nuqtasi bo`lsin. Unda 1-ta`rifga binoan ε ε < − ≠ ∈ ∃ > ∀ | | : , , 0 0 0 x x x x X x n n n
bo`ladi. Jumladan, 1 =
uchun 1 | | : , 0 1 0 1 1
− ≠
∃ x x x x X x , 2 1 =
uchun , 2 1 | | : , 0 2 0 2 2 < − ≠ ∈ ∃
x x x X x
3 1 =
uchun , 3 1 | | : , 0 3 0 3 3 < − ≠ ∈ ∃
x x x X x
...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
1 =
uchun , 1 | | : , 0 0 n x x x x X x n n n < − ≠ ∈ ∃
...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
bo`ladi. Natijada qaralayotgan teoremaning 1) shartini qanoat-lantiruvchi } { n x ketma-ketlik hosil bo`lib, uning uchun
∈ ∀ da n x x n 1 | | 0
− tengsizlik o`rinli bo`ladi. Keyingi munosa- batdan esa ∞ → n da
0 x x n →
kelib chiqadi. ► SHuni ta`kidlash lozimki, 2-teoremaning shartlarini qanoatlantiruvchi ketma-ketliklar ko`plab topiladi.
) (x f funksiya R X ⊂ to`plamda berilgan bo`lib, 0
nuqta
to`plam-ning limit nuqtasi bo`lsin. 0
nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy { }
: ) , ( ... , ...,
, , 0 2 1
x X x x x x n n n ≠ ∈ ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat )} (
n x f : ... ), ( ..., ), ( ), ( 2 1 n x f x f x f
ketma-ketlikni hosil qilamiz. 3-ta`rif. (Geyne). Agar ∞ → n da
) , ( 0 0
x X x x x n n n ≠ ∈ → bo`ladigan ixtiyoriy } { n x ketma-ketlik uchun ∞ →
da b x f n → ) ( bo`lsa, b ga
) (x f funksiyaning 0
nuqtadagi limiti deyiladi va 0
→ da b x f → ) ( yoki
b x f x x = → ) ( lim 0
kabi belgilanadi. Eslatma. Agar
∞ →
da
) , ( 0 0
x X x x x n n n ≠ ∈ →
va ) , ( 0 0
y X y x y n n n ≠ ∈ → bo`ladigan turli } {
{ n n y x ketma-ketliklar uchun ∞ →
da 1 ) ( b x f n → , 2 ) ( b y f n → bo`lib, 2 1
b ≠ bo`lsa ) (x f funksiya 0
→ da limitga ega emas deyiladi. 1-misol. Ushbu 68
x x x x f 4 16 ) ( 2 2 − − =
funksiyaning 4 0 = x nuqtadagi limiti topilsin. ◄ Quyidagi } { n x : ...) , 2 , 1 , 4 ( 4 lim = ≠ = ∞ →
x x n n n
ketma-ketlikni olaylik. Unda n n n n n n x x x x x x f 4 4 16 ) ( 2 2 + = − − =
bo`lib, ∞ →
da 2
( →
x f bo`ladi. Demak, . 2
16 lim
2 2 = − − ∞ → x x x n ►
x x f 1 sin ) ( = funksiyaning 0 →
dagi limiti mavjud bo`lmasligi ko`rsa-tilsin. ◄ Ravshanki, ∞ →
da , 0 ) 1 4 ( 2 ' → − = π n x n
0 ) 1 4 ( 2 ' ' → + = π n x n
bo`ladi.
Bu ketma-ketliklar uchun 1 2 1 4 ) ( , 1 2 1 4 ) ( '' ' = + = − = − = π π n x f n x f n n
bo`lib, ∞ →
da 1
( , 1 ) ( '' ' → − → n n x f x f
bo`ladi. Demak, berilgan funksiya 0 0 = x nuqtada limitga ega emas. ► 4-ta`rif. (Koshi). Agar 0 > ∀ ε son olinganda ham shunday 0 )
> =
δ δ topilsaki, }) {
) ( ( 0 0
x U X x δ I ∈ ∀ uchun
ε < − | ) ( | b x f
tengsizlik bajarilsa, b soni
) (x f funksiyaning 0
nuqtadagi limiti deyiladi: b x f x x = → ) ( lim 0 . Bu ta`rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin: 0 > ∀ ε ,
0 ) ( > = ∃ ε δ δ ,
}) { \ ) ( ( 0 0
x U X x δ I ∈ ∀ :
ε < − | ) ( | b x f
bo`lsa, b x f x x = → ) ( lim 0 .
) (
) (
C C x f ∈ = = bo`lsin. Bu funksiya uchun C x f x x = → ) ( lim 0
bo`ladi. 69
4-misol. Ushbu 1 1 ) ( 2 − − = x x x f funksiyaning 1 0
x nuqtadagi limiti 2 ga teng ekani ko`rsatilsin. ◄ 0 > ∀
soniga ko`ra
= deb olsak, u holda δ < − | 1 | x
)
( ≠
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x da
ε δ =
− =
+ = − − − | 1 | | 2 1 | 2 1 1 2 x x x x
bo`ladi. Demak, . 2 1 1 lim
2 0 = − − → x x x x ►
} 0
\ R X = da x x x f sin
) ( = bo`lsin. Bu funksiya uchun 1 sin lim 0 = → x x x
bo`ladi. ◄Ma`lumki, ∈ 2 , 0
x uchun
tgx x x 2 1 2 1 sin 2 1
<
bo`ladi. Bu tengsizliklardan, funksiyalarning juftligini hisobga olib, 2 | | 0 π < < x da
1 sin
cos < < x x x
bo`lishini topamiz. Keyingi tengsizliklardan esa 2 4 2 2 sin
2 cos
1 sin
1 0 2 2 2
x x x x x = ⋅ < = − < −
bo`lishi kelib chiqadi. Endi 0 > ∀ ε ni olib, } 1
min{ ε δ = deyilsa, unda , | | , δ < ∀
x
0 ≠ x uchun
ε < −
x x sin
1 0
bo`ladi. Demak, 1 sin lim 0 = → x x x . ►
6-misol. Ushbu 0 , , 0 , ) ( 0 = ∈ > = x R x a a x f x
funksiya uchun 1 lim
0 = → x x a
bo`lishi isbotlansin. ◄ 1 > a bo`lgan holni qaraylik. Bu holda ) (x f funksiya qat`iy o`suvchi bo`ladi: 2 1
) ( ) ( , , 2 1 2 1 2 1 x x a a x f x f x x R x x < < ⇒
∈ ∀
0 > ∀ ε sonni olaylik. Ma`lumki, ∞ →
da 70
1 , 1 1 1 → → −
n a a
bo`lib, ketma-ketlik limiti ta`rifiga binoan , 1 : , 1 1 1 ε +
> ∀
∃ n a n n N n
ε − > > ∀ ∈ ∃ − 1 : , 1 2 2
a n n N n
bo`ladi. endi 0 2 1 0 1 }, , max{
n n n n = = δ deyilsa, unda 0 1
| 0 | , n x n x x < < − ⇔ < − ∀ δ
bo`lganda ε ε ε < − ⇔ + < < − ⇒ < < | 1 | 1 1 1 1 0 x x n x n a a a a a
bo`ladi. Demak, 1 lim
0 = → x x a . 1 0 < < a bo`lganda 1 lim
0 = → x x a bo`lishini isbotlash o`quvchiga havola etiladi. ► Download 225.59 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|