7-ma`ruza Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari

0

.  CHeksiz  kichik  hamda  cheksiz  katta  miqdorlar.  Faraz  qilaylik, 

{ }

n

α

  ketma-

ketlik berilgan bo`lsin. 

2-ta`rif. Agar 

{ }

n

α

 ketma-ketlikning limiti nolga teng, ya`ni 

0

lim

=

∞

→

n

n

α

 

bo`lsa, 

{ }

n

α

 - cheksiz kichik miqdor deyiladi.  

Masalan, 

(

)

1

,

ва

1

<

=

=

q

q

n

n

n

n

α

α

 

ketma-ketliklar cheksiz kichik miqdorlar bo`ladi. 

Aytaylik, 

{ }

n

x

 ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lib, uning limiti a ga teng bo`lsin: 

.

lim

а

x

n

n

=

∞

→

 

U  holda 

a

x

n

n

−

=

α

  cheksiz  kichik  miqdor  bo`ladi.  Keyingi  tenglikdan  topamiz:   

n

n

a

x

α

+

=

. Bundan esa quyidagi muhim xulosa kelib chiqadi: 

{ }

n

x

  ketma-ketlikning 

)

(

R

a

a

∈

  limitga  ega  bo`lishi  uchun 

a

x

n

n

−

=

α

  ning 

cheksiz kichik miqdor bo`lishi zarur va etarli. 

 

46 

Ketma-ketlikning  limiti  ta`rifidan  foydalanib  quyidagi  ikkita  lemmani  isbotlash  qiyin 

emas. 

1-lemma.  CHekli  sondagi  cheksiz  kichik  miqdorlar  yigindisi  cheksiz  kichik  miqdor 

bo`ladi. 

2-lemma.  CHegaralangan  miqdor  bilan  cheksiz  kichik  miqdor  ko`paytmasi  cheksiz  

kichik miqdor bo`ladi. 

3-ta`rif.    Agar  har  qanday 

M

  soni  olinganda  ham  shunday  natural 

0

n

  soni  topilsaki,   

barcha 

0

n

n

>

 uchun  

M

x

n

>

 

tengsizlik bajarilsa, 

{ }

n

x

 ketma-ketlikning limiti cheksiz deyiladi va                             

∞

=

∞

→

n

n

x

lim

 

kabi belgilanadi. 

Agar 

{ }

n

x

 ketma-ketlikning limiti cheksiz bo`lsa, 

{ }

n

x

 cheksiz katta miqdor deyiladi. 

Masalan, 

n

x

n

n

⋅

−

=

)

1

(

 

ketma-ketlik cheksiz katta miqdor bo`ladi.  

Endi  cheksiz  kichik  va  cheksiz  katta  miqdorlar  orasidagi  bog`lanishni  ifodalovchi 

tasdiqlarni keltiramiz: 

1)  Agar 

{ }

n

x

  cheksiz  kichik  miqdor 

(

)

0

≠

n

x

  bo`lsa,  u  holda 













n

x

1

  cheksiz  katta 

miqdor bo`ladi. 

2)  Agar 

{ }

n

x

  cheksiz  katta  miqdor  bo`lsa,  u  holda 













n

x

1

  cheksiz    kichik  miqdor 

bo`ladi. 

Mashqlar 

 

1. Agar 

0

,

lim

>

=

∞

→

a

а

x

n

n

 

bo`lsa, u holda 

0

:

,

0

0

>

>

∀

∈

∃

n

x

n

n

N

n

 

bo`lishi isbotlansin. 

2. Ushbu 

1

2

1

cos

1

2

2

lim

2

−

+

−

∞

→

n

n

n

n

n

 

limit hisoblansin. 

3. Ushbu 

)

...

3

2

1

!

(

,

0

!

2

lim

n

n

n

n

n

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

∞

→

 

limit munosabat isbotlansin. 

4. Agar  

}

{

n

x

 va 

}

{

n

y

 ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lib,  

1)

;

lim

,

lim

b

n

y

a

n

x

n

n

=

=

∞

→

∞

→

 

2) 

N

n

∈

∀

 uchun  

n

n

y

x

<

  

bo`lsa, u holda 

b

a

<

 bo`ladimi? Misollar keltirlsin. 

 

47 

8-ma`ruza 

 Monoton ketma-ketliklar  va  ularning limiti 

 

1

0

.  Monoton ketma-ketlik tushunchasi.  Aytaylik, 

:

}

{

n

x

 

        

...

,

...,

,

,

2

1

n

x

x

x

  

 

 

 

 

 (1) 

ketma-ketlik berilgan bo`lsin. 

1-ta`rif. Agar (1) ketma-ketlikda 

N

n

∈

∀

 uchun  

1

+

≤

n

n

x

x

 tengsizlik bajarilsa, 

}

{

n

x

 

o`suvchi ketma-ketlik deyiladi. Agar (1) ketma-ketlikda  

N

n

∈

∀

 uchun  

1

+

<

n

n

x

x

 tengsizlik 

bajarilsa, 

}

{

n

x

 qat`iy o`suvchi ketma-ketlik deyiladi. 

2-ta`rif. Agar (1) ketma-ketlikda  

N

n

∈

∀

 uchun  

1

+

≥

n

n

x

x

 tengsizlik bajarilsa, 

}

{

n

x

 

kamayuvchi  ketma-ketlik  deyila-di.  Agar  (1)  ketma-ketlikda   

N

n

∈

∀

  uchun   

1

+

>

n

n

x

x

 

tengsizlik bajarilsa, 

}

{

n

x

 qat`iy kamayuvchi ketma-ketlik deyiladi. 

1-misol. Ushbu  

...

,

3

4

,

2

3

,

1

2

:

1

n

n

x

n

+

=

 

ketma-ketlik qat`iy kamayuvchi ketma-ketlik bo`ladi. 

◄ Haqiqatdan ham, berilgan ketma-ketlik uchun  

1

2

,

1

1

+

+

=

+

=

+

n

n

x

n

n

x

n

n

 

bo`lib, 

N

n

∈

∀

 uchun  

0

)

1

(

1

1

1

2

1

<

+

−

=

+

−

+

+

=

−

+

n

n

n

n

n

n

x

x

n

n

 

bo`ladi. Unda 

n

n

x

x

<

+

1

 bo`lishi kelib chiqadi. ► 

YUqoridagi ta`riflardan quyidagi xulosalar kelib chiqadi: 

1) agar 

}

{

n

x

 ketma-ketlik o`suvchi bo`lsa, u quyidan chegaralangan bo`ladi: 

2) agar 

}

{

n

x

 ketma-ketlik kamayuvchi bo`lsa, u yuqoridan  chegaralangan bo`ladi. 

O`suvchi  hamda  kamayuvchi  ketma-ketliklar  umumiy  nom  bilan  monoton  ketma-

ketliklar deyiladi. 

2-misol. Ushbu 

,...)

3

,

2

,

1

(

1

2

2

=

+

=

n

n

n

x

n

 

ketma-ketlikning qat`iy o`suvchi ekanligi isbotlansin. 

◄ Bu ketma-ketlikning 

−

n

hamda 

−

+

)

1

(n

hadlari uchun  

                            

,

1

1

1

1

2

2

2

+

−

=

+

=

n

n

n

x

n

 

1

)

1

(

1

1

1

)

1

(

)

1

(

2

2

2

1

+

+

−

=

+

+

+

=

+

n

n

n

x

n

 

bo`ladi. Ravshanki, 

2

2

1

)

1

(

1

n

n

<

+

 . 

SHu tengsizlikni e`tiborga olib, topamiz: 

 

48 

.

1

1

1

1

)

1

(

1

1

2

2

1

n

n

x

n

n

x

=

+

−

>

+

+

−

=

+

 

Demak, 

N

n

∈

∀

  uchun 

1

+

<

n

n

x

x

.  Bu  esa  qaralayotgan  ketma-ketlikning    qat`iy  o`suvchi 

bo`lishini bildiradi. ► 

2

0

.  Monoton  ketma-ketlikninshg  limiti.  Quyida  mono-ton  ketma-ketliklarning  limiti 

haqidagi teoremalarni keltiramiz. 

1-teorema. Agar 

}

{

n

x

 ketma-ketlik  

1) o`suvchi, 

2) yuqoridan chegaralangan bo`lsa, u chekli limitga ega bo`ladi. 

◄  Aytaylik, 

}

{

n

x

  ketma-ketlik  teoremaning  ikkala  shartlarini  bajarsin.  Bu  ketma-

ketlikning barcha hadlari-dan iborat to`plamni  

E

 bilan belgilaymiz: 

...}

,

,

...

,

,

{

2

1

n

x

x

x

E

=

. 

Ravshanki, 

E

 yuqoridan chegaralangan to`plam  bo`lib, 

∅

≠

E

. Unda to`plamning aniq 

chegarasining  mavjudligi  haqidagi  teoremaga  muvofiq, 

E

sup

  mavjud  bo`ladi.  Uni 

a

  bilan 

belgilaylik: 

a

E

=

sup

. 

Ixtiyoriy  

0

>

ε

 sonini olaylik. To`plamning aniq yuqori chegarasi ta`rifiga binoan:  

                  1) 

N

n

∈

∀

 uchun 

a

x

n

≤

 

                  2) 

ε

−

>

∈

∃

a

x

Е

х

n

n

0

0

,

  

bo`ladi. Ayni paytda  

0

n

n

>

∀

uchun 

0

n

n

x

x

≥

 tengsizlik bajari-lib, 

ε

−

>

a

x

n

 bo`ladi. 

Natijada 

0

n

n

>

∀

uchun 

ε

ε

+

<

<

−

а

x

a

n

 ya`ni 

ε

<

−

n

x

a

 bo`li-shini topamiz. 

Demak  

}

{

n

x

 ketma-ketlik chekli limitga ega va  

E

a

x

n

n

sup

lim

=

=

∞

→

. ► 

2-teorema. Agar 

}

{

n

x

ketma-ketlik  

1) kamayuvchi, 

2) quyidan chegaralangan bo`lsa, u chekli limitga ega bo`ladi. 

Bu teorema yuqorida keltirilgan teoremaning isboti kabi isbotlanadi. 

3-misol. Ushbu  

n

n

n

n

x

!

=

 

ketma-ketlikning limiti topilsin. 

◄  Ravshanki, 

1

≥

∀

n

  uchun 

0

>

n

x

  bo`ladi.  Bu  ketma-ketlikning 

1

+

n

x

  va 

n

x

 

hadlarining nisbatini qaraymiz: 

1

1

)

1

(

1

!

:

)

1

(

)!

1

(

1

1

1

<













+

=

⋅

+

+

=

+

+

=

+

+

+

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

. 

 

Demak, 

n

n

x

x

<

+

1

. 

 

Bundan  esa  berilgan  ketma-ketlikning  kamayuvchi  ekanligi  kelib 

chiqadi. 

Ayni paytda 

1

≥

∀

n

 da  

1

0

x

x

n

≤

<

 

munosabat  o`rinli  bo`ladi.  Demak  berilgan    ketma-ketlik  chegaralangan.  1-teoremaga  ko`ra  

}

{

n

x

 ketma-ketlik chekli limitga ega. Uni  

a

 bilan belgilaymiz:  

 

49 

)

0

(

.

!

lim

≥

=

∞

→

a

a

n

n

n

n

 

Endi ushbu 

1

+

−

n

n

x

x

 ayirmani qaraymiz. Bu ayirma uchun  

1

1

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

+

+

=

+

⋅

=

+

−

⋅

≥

≥

+

−

+

=

+

⋅

−

=

−

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

n

x

n

n

n

x

n

n

n

x

n

n

x

x

x

x

 

 

bo`lib, undan 

1

2

+

≥

n

n

x

x

 

bo`lishi  kelib  chiqadi. Keyingi munosabatlardan topamiz: 

.

2

,

lim

2

lim

1

a

a

x

x

n

n

n

n

≥

≥

+

∞

→

∞

→

 Ravshanki, bu holda 

0

=

a

 bo`ladi. 

Demak,  

.

0

!

lim

=

∞

→

n

n

n

n

► 

 

 

3

0

. 

e

 soni. Ushbu 

...)

,

3

,

2

,

1

(

,

1

1

=











 +

=

n

n

x

n

n

 

 

 

 

(1) 

ketma-ketlikni  qaraymiz.  

Tasdiq. (1) ketma-ketlik o`suvchi bo`ladi. 

◄ Berilgan ketma-ketlikning 

1

+

n

x

 hamda 

n

x

 hadlarining nisbatini topamiz: 

 

1

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

(

2)

1

: 1

1

(

1)

(

1)

2

1

1

1

1

.

(

1)

(

1)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

n

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

+

+

+

⋅









= +

+

=

=









+

+

⋅ +

















+

+

+

=

⋅

= −

⋅









+

+









 

 

Bernulli tengsizligiga ko`ra: 

1

)

1

(

1

1

)

1

(

1

1

2

1

2

+

=

+

+

−

>













+

−

+

n

n

n

n

n

n

 bo`ladi. 

 

Natijada 

N

n

∈

∀

 uchun  

1

1

1

1

=

+

⋅

+

>

+

n

n

n

n

x

x

n

n

 

ya`ni, 

n

n

x

x

>

+

1

  bo`lishi kelib chiqadi. ►