7-ma`ruza Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari

3

0

. Ketma-ketlikning quyi hamda yuqori limitlari. 

}

{

n

x

 ketma-ketlik berilgan bo`lsin. 

Bu ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligining limiti 

}

{

n

x

 ning qismiy limiti deyiladi. 

2-ta`rif. 

}

{

n

x

  ketma-ketlik  qismiy  limitlarining  eng  kattasi  berilgan  ketma-ketlikning 

yuqori  limiti deyiladi va     

n

n

x

∞

→

lim

 

kabi belgilanadi. 

}

{

n

x

  ketma-ketlik  qismiy  limitlarining  eng  kichigi  berilgan  ketma-ketlikning  quyi 

limiti deyiladi va  

n

n

x

∞

→

lim

 

 

54 

kabi belgilanadi. 

Masalan, ushbu  

...

,

3

,

2

,

1

,

3

,

2

,

1

,

3

,

2

,

1

:

}

{

n

x

 ketma-ketlikning  yuqori limiti 

3

lim

=

∞

→

n

n

x

, 

quyi  limiti esa 

1

lim

=

∞

→

n

n

x

 

bo`ladi.  Umuman, 

}

{

n

x

  ketma-ketlikning  quyi  hamda  yuqori  limitlari  quyidagicha  ham 

kiritilishi   mumkin. 

Aytaylik, 

}

{

n

x

 ketma-ketlik berilgan bo`lib, 

A

 bu ketma-ketlikning qismiy limitlaridan 

iborat to`plam bo`lsin.  Unda bu ketma-ketlikning quyi limitini  

{

}











+∞

=

∞

+

∞

+

≠

∞

−

=

=

=

∞

→

∞

→

бўлса

}

{

;

,

ва

ан

чегараланг

куйидан

}

{

;

inf

,

бўлса

аган

чегараланм

куйидан

}

{

;

inf

lim

lim

А

А

x

A

x

x

x

n

n

n

n

n

n

 

deb olish mumkin. 

}

{

n

x

 ketma-ketlikning yuqori limitini esa 

 

{

}











−∞

=

∞

−

∞

−

≠

∞

+

=

=

=

∞

→

∞

→

бўлса

}

{

;

,

бўлса

ва

ан

чегараланг

юкоридан

}

{

;

sup

,

бўлса

аган

чегараланм

юкоридан

}

{

;

sup

lim

lim

А

А

x

A

x

x

x

n

n

n

n

n

n

 

 

deb qarash mumkin. 

Endi quyi hamda yuqori limitlarning xossalarini keltiramiz. 

Biror   

}

{

n

x

    ketma-ketlik  uchun   

а

x

n

n

=

∞

→

____

lim

bo`lsin.  U  holda   

0

>

∀

ε

  olinganda 

ham: 

1)  shunday 

N

n

∈

0

 topiladiki,  

0

n

n

>

∀

 da   

ε

+

<

a

x

n

 

2) 

N

n

∈

∀

1

  uchun 

ε

  va 

1

n

 larga  bog`liq  shunday   

1

n

n

>

′

   topiladiki,  

ε

−

>

′

a

x

n

 

bo`ladi. 

Bu xossalar quyidagilarni anglatadi: 

0

>

∀

ε

 tayin olganda, birinchi xossa 

}

{

n

x

 ketma-

ketlikning faqatgina chekli sondagi hadlarigina   

ε

+

<

a

x

n

 

tengsizlikni qanoatlantirishini, ikkinchi xossa esa bu ketma-ketlikning    

ε

−

>

a

x

n

 

tengsizlikni qanoatlantiruvchi hadlarining soni cheksiz ko`p bo`lishini ifodalaydi. 

◄Agar 

}

{

n

x

 ning cheksiz ko`p sondagi hadlari 

ε

+

a

 dan katta bo`lsa, u holda 

ε

+

a

 

sonidan  kichik  bo`lmagan 

)

(

ε

+

≥

a

b

b

  ga  intiluvchi 

}

{

n

x

  ketma-ketlikning  qismiy  ketma-

ketligi mavjud va  bu  

а

x

n

n

=

∞

→

____

lim

 ga zid. 

Demak, 

ε

+

a

 dan o`ngda ketma-ketlikning ko`pi bilan chekli sondagi hadlari yotadi. 

Modomiki,  

 

55 

а

x

n

n

=

∞

→

____

lim

 

ekan, unda 

}

{

n

x

 ning qismiy limitlaridan biri  a  ga teng:    

а

x

k

n

k

=

∞

→

lim

 

Limit  ta`rifiga  ko`ra  bu 

}

{

k

n

x

  ketma-ketlikning,  demak, 

}

{

n

x

  ning  ham  cheksiz  ko`p 

sondagi hadlari 

ε

−

a

 dan katta bo`ladi. ► 

Eslatma. Biror 

a

 soni  yuqoridagi  ikki  shartni qanoat-lantirsa, u 

}

{

n

x

 ketma-ketlikning 

yuqori limiti  bo`ladi. 

Faraz qilaylik, biror 

}

{

n

x

 ketma-ketlik uchun 

b

x

n

n

=

∞

→

lim

 

bo`lsin. U holda 

0

>

∀

ε

 olinganda ham: 

)

1

′

 shunday 

N

n

∈

0

 topiladiki,  

0

n

n

>

∀

 da 

ε

−

>

b

x

n

 

)

2

′

N

n

∈

∀

1

  uchun 

ε

  va 

1

n

  larga bog`liq  shunday 

1

n

n

>

′

   topiladiki,   

ε

+

<

′

b

x

n

 

bo`ladi. 

Quyi limitning bu xossasi yuqoridagidek isbotlanadi. 

Ketma-ketlikning  quyi  hamda  yuqori  limitlari  xossa-laridan  foydalanib,  quyidagi 

teoremani isbotlash qiyin emas: 

4-teorema. 

}

{

n

x

 ketma-ketlik 

C

 limitga ega bo`lishi uchun 

C

x

x

n

n

n

=

=

∞

→

∞

→

____

n

lim

lim

 

bo`lishi zarur va etarlidir. 

 

Mashqlar 

 

1. Har qanday monoton ketma-ketlik faqat bitta qismiy limitga ega bo`lishi isbotlansin.  

2. Koshi teoremasidan foydalanib, ushbu 

n

n

a

a

a

x

+

+

+

=

...

2

1

 

ketma-ketlikning 

)

...

,

2

,

1

;

1

0

;

|

|

,

(

=

<

<

≤

∈

k

q

q

a

R

a

k

k

k

  limitga  ega  bo`lishi 

isbotlansin. 

3. Ushbu  

n

n

n

n

n

n

n

y

x

y

x

___

___

___

lim

lim

)

(

lim

∞

→

∞

→

∞

→

+

≤

+

 

tengsizlik isbotlansin. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56 

3-BOB 

FUNKSIYA VA UNING LIMITI 

 

10-ma`ruza 

Funksiya tushunchasi 

 

1

0

.  Funksiya  ta`rifi,  berilish  usullari.  Biz  2-ma`ruzada 

E

  to`plamni 

F

  to`plamga 

akslantirish 

F

E

f

→

:

 

ni o`rgangan edik. 

Endi 

F

E

=

, 

R

F

=

 deb olamiz. Unda har bir haqiqiy  

x

 songa  biror haqiqiy y sonni 

mos qo`yuvchi 

R

F

f

→

:

   (

y

x

f

→

) 

akslantirishga kelamiz. Bu esa funksiya tushunchasiga olib keladi. 

Funksiya  tushunchasi  o`quvchiga  o`rta  maktab  matematika  kursidan  ma`lum.  SHuni 

e`tiborga olib funksiya haqidagi dastlabki ma`lumotlarni qisqaroq bayon etishni lozim topdik.  

Aytaylik, 

R

X

⊂

,

R

Y

⊂

  to`plamlar    berilgan  bo`lib, 

x

  va 

y

  o`zgaruvchilar  mos 

ravishda shu to`plamlarda o`zgarsin: 

X

x

∈

,   

Y

y

∈

. 

1-ta`rif.  Agar 

X

  to`plamdagi  har  bir 

x

  songa  biror 

f

    qoidaga  ko`ra 

Y

  to`plamdan 

bitta 

y

 son  mos qo`yilgan bo`lsa, 

X

 to`plamda funksiya berilgan (aniqlangan) deyiladi  va 

y

x

f

→

:

  yoki 

( )

x

f

y

=

 

kabi  belgilanadi.  Bunda 

X

-  funksiyaning  aniqlanish  to`plami  (cohasi), 

Y

  -  funksiyaning 

o`zgarish  to`plami  (cohasi)  deyiladi. 

x

-  erkli  o`zgaruvchi  yoki  funksiya  argumenti,  y  esa 

erksiz o`zgaruvchi yoki funksiya  deyiladi. 

Misollar.  1.  

(

)

(

)

∞

+

=

∞

+

∞

−

=

,

0

,

,

Y

X

 bo`lib,  

f

 qoida  

1

:

2

+

=

→

x

y

x

f

 

bo`lsin. Bu holda har bir  

X

x

∈

 ga bitta  

Y

x

∈

+

1

2

 mos qo`yilib,  

1

2

+

=

x

y

 

funksiyaga ega bo`lamiz. 

2.  Har  bir  ratsional  songa  1  ni,    har  bir  irratsional  songa  0  ni  mos  qo`yish  natijasida 

funksiya hosil bo`ladi. Odatda, bu Dirixle funksiyasi deyilib, u 

( )

x

D

 kabi belgilanadi: 

( )







=

бўлса

 

сон

 

иррационал

агар

0

бўлса

 

сон

 

рационал

агар

1

x

,

,

x

,

x

D

 

SHunday  qilib, 

( )

x

f

y

=

  funksiya    uchta: 

X

  to`plam, 

Y

  to`plam  va  har  bir 

X

x

∈

  ga  bitta 

Y

y

∈

 ni mos qo`yuvchi 

f

 qoidaning berilishi bilan aniqlanar ekan. 

Faraz qilaylik, 

( )

x

f

y

=

 funksiya 

R

X

⊂

 to`plamda berilgan bo`lsin. 

X

x

∈

0

 nuqtaga 

mos keluvchi 

0

y

 miqdor  

( )

x

f

y

=

 funksiyaning 

0

x

x

=

 nuqtadagi xususiy qiymati deyiladi 

va 

( )

0

0

y

x

f

=

 kabi belgilanadi. 

Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini olamiz. Tekislikdagi 

( )

(

)

x

f

x ,

 nuqtalardan 

iborat ushbu  

( )

(

)

{

}

( )

(

)

( )

{

}

Y

x

f

X

x

x

f

x

x

f

x

∈

∈

=

,

,

,

 

to`plam 

( )

x

f

y

=

 funksiyaning grafigi deyiladi.  Masalan,  

 

57 

[

]

(

)

2

,

2

1

2

−

=

∈

−

=

X

x

x

y

 

funksiyaning grafigi 1-chizmada tasvirlangan. 

 

1-chizma. 

Funksiya ta`rifidagi 

f

 qoida turlicha bo`lishi mumkin. 

a)  Ko`pincha 

x

  va 

y

  o`zgaruvchilar  orasidagi  bog`lanish  formulalar  yordamida 

ifodalanadi. Bu funksiyaning anali-tik usulda berilishi deyiladi. Masalan,  

2

1

x

y

−

=

 

funksiya analitik usulda berilgan bo`lib, uning aniqlanish to`plami  

{

}

[

]

1

,

1

1

1

−

=

≤

≤

−

∈

=

x

R

x

X

 

bo`ladi. 

x

  va 

y

  o`zgaruvchilar  orasidagi  bog`lanish    quyidagi  formulalar  yordamida  berilgan 

bo`lsin: 







<

−

>

=

=

бўлса.

0

агар

,

1

бўлса,

0

агар

,

1

)

(

x

x

x

f

y

 

Bu  funksiyaning  aniqlanish  to`plami 

{ }

0

\

R

X

=

  bo`lib,  qiymatlar  to`plami  esa 

{

}

1

,

1

−

=

Y

 bo`ladi. Odatda bu funksiya 

x

y

sign

=

 kabi belgilanadi. 

b)  Ba`zi  hollarda 

X

x

∈

, 

Y

y

∈

  o`zgaruvchilar  orasidagi  bog`lanish  jadval  orqali 

bo`lishi  mumkin.  Masalan,  kun  davomida  havo  haroratini  kuzatganimizda, 

1

t

  vaqtda  havo 

harorati 

1

T

, 

2

t

 vaqtda havo harorati 

2

T

 va h.k. bo`lsin. Natijada quyidagi jadval hosil bo`ladi. 

 

t

– vaqt 

1

t

 

2

t

 

3

t

 

... 

n

t

 

T

– harorat 

1

T

 

2

T

 

3

T

 

... 

n

T

 

 

Bu  jadval 

t

  vaqt  bilan  havo  harorati 

T

  orasidagi  bog`lanish-ni  ifodalaydi,  bunda 

t

-argument, 

T

 esa 

t

 ning funksiyasi bo`ladi. 

v) 

x

  va 

y

  o`zgaruvchilar  orasidagi  bog`lanish  tekislikda  biror  egri  chiziq  orqali  ham 

ifodalanishi mumkin (2-chizma). 

 

2-chizma. 

 

 

58 

Masalan,  2-chizmada  tasvirlangan 

L

  egri  chiziq  beril-gan  bo`lsin.  Aytaylik, 

[ ]

b

a ,

 

segmentdagi har bir nuqtadan o`tkazilgan perpendikulyar 

L

 chiziqni faqat bitta nuqtada kessin. 

[ ]

b

a

x

,

∈

∀

  nuqtadan  perpendikulyar  chiqarib,    uning 

L

  chiziq  bilan  kesishish  nuqtasini 

topamiz. Olingan 

x

 nuqta-ga kesishish nuqtasining ordinatasi 

y

 ni mos qo`yamiz. Natijada har 

bir 

[ ]

b

a

x

,

∈

  ga  bitta 

y

  mos  qo`yilib,  funksiya  hosil  bo`ladi.  Bunda 

x

  bilan 

y

  orasidagi 

bog`lanishni beril-gan 

L

 egri chiziq bajaradi.  

Aytaylik, 

( )

x

f

1

 funksiya 

R

X

⊂

1

 to`plamda, 

( )

x

f

2

 funksiya esa 

R

X

⊂

2

 to`plamda 

aniqlangan bo`lsin. 

 

 

Agar  

1)  

2

1

X

X

=

 

2)  

1

X

x

∈

∀

 da 

( )

( )

x

f

x

f

2

1

=

 

bo`lsa, 

( )

x

f

1

 hamda 

( )

x

f

2

  funksiyalar  o`zaro  teng  deyiladi  va 

( )

( )

x

f

x

f

2

1

=

  kabi 

belgilanadi.