70. Elektromagnit maydondagi zaryad

88 . Maksvell-Lorens tenglamalarining ikkinchi jufti.

Elektr va magnit maydon kuchlanganligi uchun yana ikkita tengla-mani odatdagidek variatsion prinsip asosida olamiz. Bunda variat-siyalanuvchi umumlashgan koordinata sifatida ta’sir integrali (4.31)

da maydon potensiallarini olamiz. Ularni zaryadlar zichligi ρ(r, t) va tok zichligi j(r, t) bilan to‘liq aniqlangan deb hisoblaymiz. Ta’sir integrali (4.31) ning birinchi hadida maydon kattaliklari ishtirok etmaydi, shu-ning uchun uning variatsiyasi nolga teng. Ikkinchi hadda j ⁱ(r, t) vari-atsiyalanmaydi. Bularni hisobga olib, ta’sir integralining variatsiyasini yozamiz:

Bu yerda F^ikδF_ik ≡ F_ikδF^ik ekanligi hisobga olindi. Elektromagnit maydon tenzori potensiallar orqali (3.31) ifoda bilan aniqlanishini hi-sobga olib quyidagini yozamiz:

Ikkinchi hadda {i, k} → {k, i} almashtiramiz va F^ki = −F^ik hisobga olib (4.33) ni qayta yozamiz:

Ikkinchi integralni x^k koordinata bo‘yicha bo‘laklab integrallaymiz:

Bu yerda

to‘rt o‘lchovli fazoda S_k giper sirt bo‘yicha integral bo‘lib, uning qiy-matlari x^k bo‘yicha chegarada olinadi. Agar x^k ⇒ x, y, z bo‘lsa, chegara cheksizda yotadi. Maydon cheksizda nolga intiladi. Agar x^k = ct bo‘lsa, chegara boshlang‘ich va oxirgi vaqt momentlari bo‘lib, unda variatsiya δA_i nolga teng. Demak, (4.35) dagi oxirgi had nolga teng ekan. Natijada quyidagini olamiz:

Bu yerda δA_i variatsion prinsipga ko‘ra aynan nolga teng emas, integral nolga teng bo‘lishi uchun faqat qavs ichidagi ifoda nolga teng bo‘lishi mumkin, ya’ni

Bu tenglamani komponentalarda yozamiz. i = 1:

Yoki uch o‘lchovli belgilashlarda

Qolgan ikkita (i = 2, 3) tenglama bilan bu tenglamani birlashtirib bitta vektor tenglama ko‘rinishda yozamiz:


i = 0 hol uchun quyidagi tenglamani olamiz:

Tenglamalar (4.40)–(4.41) Maksvell–Lorentz tenglamalarining ik-kinchi juftini tashkil qiladi, (4.37) esa bu tenglamalarning to‘rt o‘lchovli ko‘rinishini beradi.