Abstrakt algebra

Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   SL_n(R) gruppa GL_n(R) gruppaning normal qism gruppasi ekanligini isbot- lang.
   

2. H = {e, (1 2) ◦(3 4), (1 4) ◦(3 2), (1 3) ◦(2 4)} to‘plam S₄ gruppaning normal qism gruppasi ekanligini isbotlang.

3. 
   A₄ gruppa uchun shunday H va K qism gruppalarni topingki, H qism gruppa
   

K da normal bo‘lib, A₄ da normal bo‘lmasin.

3. 
   G gruppa va H uning qism gruppasi bo‘lsin. H normal qism gruppa bo‘lishi uchun ixtiyoriy g ∈ G va h ∈ H elementlar uchun ghg⁻¹ ∈ H bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
   

3. 
   G gruppa va H uning qism gruppasi bo‘lsin. Agar ixtiyoriy a, b ∈ G element- lar uchun ab ∈ H munosabat o‘rinli bo‘lishidan ba ∈ H kelib chiqsa, u holda H a G ekanligini isbotlang.
   
4. 
   G gruppa va H, K uning qism gruppalari bo‘lsin. Agar H aG bo‘lsa, u holda (H ∩ K) a K ekanligini isbotlang.
   
5. 
   G gruppa va uning H normal qism gruppasi uchun faktor gruppa element- larini toping:
   
   • 
     G = (Z, +) va H = (2Z, +);
     
   • 
     G = (Q, +) va H = (Z, +);
     
   • 
     G = (Z₁₂, +₁₂) va H = ⟨4⟩.
     
6. 
   G = (R \ {0}, ·) gruppa va uning H = Q \ {0} qism gruppasi uchun G/H
   

faktor gruppaning siklik emasligini isbotlang.

3. 
   Agar G gruppaning H va K normal qism gruppalari uchun H ∩ K = {e} bo‘lsa, u holda ixtiyoriy h ∈ H va k ∈ K elementlar uchun hk = kh tenglik o‘rinli bo‘lishini isbotlang.
   
4. 
   Gruppaning H qism gruppasi va K normal qism gruppalarining ko‘paytmasi qism gruppa bo‘lishini isbotlang.
   
5. 
   Agar H to‘plam G gruppaning tartibi n ga teng bo‘lgan yagona qism gruppasi bo‘lsa, u holda H a G ekanligini isbotlang.
   
6. 
   A₄ gruppaning tartibi 6 ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud emasligini isbotlang.
   
7. 
   A₄ gruppaning barcha qism gruppalarini toping.
   

6. Sentralizator, normalizator va kommutant

Biz avvalgi mavzuda G gruppaning markazi
Z(G) = {b ∈ G | a ∗ b = b ∗ a, ∀a ∈ G}
to‘plamni aniqlab, uning kommutativ qism gruppa bo‘lishini isbotlagan edik. Ta’kidlash joizki, gruppaning markazi nafaqat qism gruppa balki, normal qism gruppa bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ∀a ∈ Z(G) va ∀b ∈ G uchun a ∗ b = a ∗ b ekanligidan foydalansak, b⁻¹ ∗ a ∗ b = b⁻¹ ∗ b ∗ a = a ∈ Z(G) kelib chiqadi. Demak, Z(G) a G.

Endi gruppaning sentralizatori va normalizatori tushunchalarini kiritib, ular- ning xossalarini keltiramiz. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun

C(a) = {b ∈ G | a ∗ b = b ∗ a}
to‘plamni aniqlaymiz. Bu to‘plam a elementning sentralizatori deyiladi.
1.6.1-tasdiq. C(a) to‘plam uchun quyidagilar o‘rinli:
1) Ixtiyoriy a ∈ G element uchun C(a) to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.

T
2) Z(G) =
a∈G
C(a).

3. 
   C(a) = G bo‘lishi uchun a ∈ Z(G) bo‘lishi zarur va yetarli.
   
4. 
   Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun C(b⁻¹ ∗ a ∗ b) = b⁻¹ ∗ C(a) ∗ b.
   

Isbot. 1) Agar b, c ∈ C(a) bo‘lsa, u holda a ∗ b = b ∗ a va a ∗ c = c ∗ a
ekanligidan,
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c = (b ∗ a) ∗ c = b ∗ (a ∗ c) = b ∗ (c ∗ a) = (b ∗ c) ∗ a
tenglikni hosil qilamiz, ya’ni b ∗ c ∈ C(a).
Bundan tashqari, a ∗ b = b ∗ a tenglikdan a ∗ b⁻¹ = b⁻¹ ∗ a ekanligi ham osongina kelib chiqadi. Demak, C(a) qism gruppa.
Ikkinchi va uchinchi xossalarning o‘rinli ekanligi ta’rifdan to‘g‘ridan-to‘g‘ri ke- lib chiqadi.
4) Ma’lumki, x ∈ C(b⁻¹ ∗ a ∗ b) bo‘lishi uchun
x ∗ (b⁻¹ ∗ a ∗ b) = (b⁻¹ ∗ a ∗ b) ∗ x
tenglikning bajarilishi zarur va yetarli. Ushbu tenglik esa (b∗x∗b⁻¹)∗a = a∗(b∗x∗ b⁻¹) tenglikka teng kuchli bo‘lib, bundan esa, b∗x∗b⁻¹ ∈ C(a) ⇔ x ∈ b⁻¹∗C(a)∗b bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, tenglikning chap tomoni o‘ng tomoniga qism, o‘z navbatida o‘ng tomoni chap tomoniga qism bo‘ladi.
Endi G gruppaning biror M qism to‘plami va H qism gruppasi uchun sentra- lizator va normalizator tushunchalarini kiritamiz.

1.6.1-ta’rif.

C_H(M ) = {a ∈ H | ax = xa, ∀x ∈ M }
to‘plam M ning H qism gruppa bo‘yicha sentralizatori
N_H(M ) = {a ∈ H | aMa⁻¹ = M }
to‘plam esa normalizatori deb ataladi.

Odatda M qism to‘plamning G gruppa bo‘yicha sentralizatori va normalizatori qaralganda C_G(M ) va N_G(M ) belgilashlar o‘rniga C(M ) va N (M ) belgilashlardan foydalaniladi. Agar M to‘plam bitta elementdan iborat bo‘lsa, u holda sentrali- zator va normalizatorlar ustma-ust tushub, H = G bo‘lganda esa, bu to‘plamlar elementning sentaralizatoriga teng bo‘ladi.

1.6.2-tasdiq. Normalizator uchun quyidagilar o‘rinli:

• 
  N (M ) to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.
  
• 
  Agar H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lsa, N (H) = G bo‘lishi uchun
  

H a G bo‘lishi zarur va yetarli.

• 
  Agar H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lsa, u holda H a N (H).
  
• 
  C_H(M ) a N_H(M ).
  

Endi kommutator va kommutant tushunchalarini kiritamiz. Berilgan G grup- paning a, b elementlari kommutatori deb aba⁻¹b⁻¹ elementga aytiladi va [a, b] kabi belgilanadi. Ma’lumki, [a, b] = e bo‘lishi uchun ab = ba bo‘lishi zarur va yetarli. Bundan tashqari, kommutator uchun quyidagi elementar xossalar o‘rinli.

1. [a, b]⁻¹ = [b, a];

2. [a, b]ba = ab;
3. c⁻¹[a, b]c = [c⁻¹ac, c⁻¹bc];
4. [ab, c] = a[b, c]a⁻¹[a, c];
5. [c, ab] = [c, a]a[c, b]c⁻¹.


1.6.2-ta’rif. G gruppaning barcha kommutatorlaridan hosil qilingan qism grup- paga kommutant deb ataladi va [G, G] kabi belgilanadi. Ya’ni
[G, G] = ⟨[a, b] | a, b ∈ G⟩.
Gruppaning A va B qism gruppalari uchun ham kommutant tushunchasini aniqlash mumkin, ya‘ni [A, B] = ⟨[a, b] | a ∈ A, b ∈ B⟩.
1.6.3-tasdiq. Gruppaning kommutanti normal qism gruppa bo‘ladi, ya’ni
[G, G] a G.
Isbot. [a, b]⁻¹ = [b, a] tenglikdan [G, G] to‘plamning ixtiyoriy elementi chekli sondagi kommutantlarning ko‘paytmasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. U holda


g⁻¹(ab)g = (g⁻¹ag)(g⁻¹bg) va g⁻¹[a, b]g = [g⁻¹ag, g⁻¹bg] tengliklardan foydalanib, ixtiyoriy x = [a₁, b₁][a₂, b₂] . . . [a_k, b_k] ∈ [G, G] element uchun
g⁻¹xg = g⁻¹[a₁, b₁][a₂, b₂] . . . [a_k, b_k]g = (g⁻¹[a₁, b₁]g)(g⁻¹[a₂, b₂]g) . . . (g⁻¹[a_k, b_k]g)
= [g⁻¹a₁g, g⁻¹b₁g][g⁻¹a₂g, g⁻¹b₂g] . . . [g⁻¹a_kg, g⁻¹b_kg] ekanligiga ega bo‘lamiz. Demak, g⁻¹xg ∈ [G, G] ya’ni [G, G] a G.
1.6.1-misol. Agar A a G va B a G bo‘lsa, u holda [A, B] a G va [A, B] ⊆ A ∩ B
ekanligini isbotlang.
Yechish. g⁻¹[a, b]g = [g⁻¹ag, g⁻¹bg] xossadan [A, B] a G kelib chiqadi.
A a G ekanligidan [a, b] = aba⁻¹b⁻¹ = a(ba⁻¹b⁻¹) ∈ A kelib chiqadi. Xuddi shunday [a, b] = aba⁻¹b⁻¹ = (aba⁻¹)b⁻¹ ∈ B bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, [A, B] ⊆ A ∩ B. Q

1.