Abstrakt algebra

2.1.6-teorema (Keli teoremasi). Ixtiyoriy G gruppa uchun (F (G), ◦) to‘plam ^{gruppa bo‘lib, F (G) ∼}= ^G.


Isbot. Dastlab, (f_a)⁻¹ = f_a⁻¹ ekanligini ko‘rsatamiz. Darhaqiqat, ixtiyoriy b ∈ G element uchun f_a⁻¹ (b) = a⁻¹ ∗ b tenglik o‘rinli. Ikkinchi tomondan esa, f_a(a⁻¹ ∗ b) = b ekanligidan (f_a)⁻¹(b) = a⁻¹ ∗ b tenglikni hosil qilamiz. Demak, (f_a)⁻¹ = f_a⁻¹ .
Endi, (F (G), ◦) to‘plamning gruppa ekanligini, ya’ni bu to‘plam (S(G), ◦) gruppaning qism gruppasi ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy f_a, f_b ∈ F (G) va c ∈ G elementlar uchun

b
(f_a ◦ f ⁻¹)(c) = (f_a ◦ f_b⁻¹ )(c) = f_a(f_b⁻¹ (c)) = f_a(b⁻¹ ∗ c)

= a ∗ (b⁻¹ ∗ c) = (a ∗ b⁻¹) ∗ c = f_a∗b⁻¹ (c).

b
Demak, f_a ◦ f ⁻¹ = f_ab⁻¹ ∈ F (G), ya’ni 1.3.1-teoremaga ko‘ra F (G) to‘plam
S(G) gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.
^{Endi F (G) ∼}= ^{G ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun g : G → F (G) akslan-}
tirishni quyidagicha aniqlaymiz: g(a) = f_a, ∀ a ∈ G. Bu akslantirish aniqlanishiga ko‘ra syurektiv bo‘lib, uning inyektiv ekanligi quyidagi tengliklardan kelib chiqadi
f_a = f_b ⇒ f_a(c) = f_b(c), ∀c ∈ G ⇒ a ∗ c = b ∗ c ⇒ a = b.
Endi, g akslantirishning gomomorfizm bo‘lishini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy c ∈ G
element uchun
f_a∗b(c) = (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) = f_a(b ∗ c) = f_a(f_b(c)) = (f_a ◦ f_b)(c) tenglik o‘rinli, ya’ni f_a∗b = f_a◦f_b. Shuningdek, g(a∗b) = f_a∗b va g(a)◦g(b) = f_a◦f_b
ekanligidan g(a ∗ b) = g(a) ◦ g(b) tenglikka ega bo‘lamiz. Demak, g biyektiv
gomomorfizm ekan, ya’ni g izomorfizm.
Demak, Keli teoremasidan tartibi n ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa S_n o‘rin almashtirishlar gruppasining biror qism gruppasiga izomorf bo‘lishi kelib chiqadi.

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      Quyidagi berilgan f akslantirish G gruppani G₁ gruppaga o‘tkazuvchi go- momorfizm bo‘ladimi? Agar gomomorfizm bo‘lsa, u holda uning yadrosini toping:
      
      • 
        G = (Z, +), G₁ = (Z, +), f (a) = 2a.
        
      • 
        G = (Z, +), G₁ = (Z, +), f (a) = a + 1.
        
      • 
        G = (R⁺, ·), G₁ = (R⁺, ·), f (a) = a².
        
      • 
        G = (R, +), G₁ = (R⁺, ·), f (a) = 2^a.
        
      • 
        G = (R \ {0}, ·), G₁ = (R⁺, ·), f (a) = |a|.
        

• 
  G = (C \ {0}, ·), G₁ = (R⁺, ·), f (z) = |z|.
  
• 
  
  |z|
  G = (C \ {0}, ·), G₁ = (R⁺, ·), f (z) = ¹ .
  
1. 
   G gruppani G₁ gruppaga o‘tkazuvchi barcha gomomorfizmlarni toping:
   
   • 
     G = (Z, +), G₁ = (Z, +).
     
   • 
     G = (Z, +), G₁ = (Z₆, +₆).
     
   • 
     G = (Z₆, +₆), G₁ = (Z₄, +₄).
     
   • 
     G = (Z₈, +₈), G₁ = (Z₁₂, +₁₂).
     
   • 
     G = (Z₂₀, +₂₀), G₁ = (Z₁₀, +₁₀).
     
2. 
   Quyidagi gruppalarning o‘zaro izomorf emasligini ko‘rsating:
   
   • 
     G = (Q, +) va G₁ = (R, +).
     
   • 
     G = (Z, +) va G₁ = (R, +).
     
   • 
     G = (Q, +) va G₁ = Q/Z.
     
   • 
     G = (Q \ {0}, ·) va G₁ = (R \ {0}, ·).
     
   • 
     G = (R \ {0}, ·) va G₁ = (C \ {0}, ·).
     
3. 
   Bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan P (X) sistema uchun aniqlangan (P (X), ∪) va (P (X), ∩) yarim gruppalar izomorf ekanligini isbotlang.
   
4. 
   G gruppada aniqlangan f : G → G, f (a) = a⁻¹ akslantirish gomomorfizm bo‘lishi uchun G kommutativ bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
   

1+ab
6. G = {(−1, 1), ∗}, a ∗ b = ^a+b
gruppa (R, +) gruppaga izomorf ekanligini

ko‘rsating.

_7. a b c d
matritsani y = ^ax+b

funksiyaga o‘tkazuvchi aklsantirish GL₂

(R)

cx+d

cx+d
gruppani G = ({^ax+b, ad − bc 0}, ◦) gruppaga o‘tkazuvchi gomomorfizm
bo‘ladimi?

8. 
   (Z₄, +) gruppani va (U₅, ·) gruppaga o‘tkazuvchi barcha izomorfizmlarni to- ping.
   
9. 
   Agar G, H va K gruppalar berilgan bo‘lib, f : G → H va g : H → K gomomorfizmlar bo‘lsa, u holda g ◦ f akslantirish G gruppani K gruppaga o‘tkazuvchi gomomorfizm ekanligini ko‘rsating.
   
10. 
    Tartibi 20 ga teng bo‘lgan gruppadan, tartibi 70 ga teng bo‘lgan gruppaga gomomorfizm mavjudmi?
    

8. 
   Tartibi 70 ga teng bo‘lgan gruppadan, tartibi 20 ga teng bo‘lgan gruppaga epimorfizm mavjudmi?
   

2. Diedr va kvaternion gruppalari

Ma’lumki, tartibi tub songa teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa siklik bo‘lib, bunday gruppalar Z_p gruppaga izomorf bo‘ladi. Xususan, izomorfizm aniqligida tartibi 1, 2, 3, 5 va 7 ga teng bo‘lgan yagona gruppalar mavjud. Biz tartibi 4 va 6 ga teng bo‘lgan gruppalarning tasnifini va tartibi 8 ga teng bo‘lgan nokommutativ grup- palarni keltiramiz. Kichik tartibli gruppalarning to‘liqroq tasnifini esa keyinroq keltiramiz.
Dastlab to‘rtinchi tartibli gruppalarni keltiramiz. Bizga shu paytgacha ikkita to‘rtinchi tartibli Z₄ va K₄ gruppalar ma‘lum bo‘lib, ularning biri siklik, ikkinchisi siklik emas, demak, ular izomorf emas. Quyidagi teoremada izomorfizm aniqligida Z₄ va K₄ gruppalardan boshqa to‘rtinchi tartibli gruppa mavjud emasligini ko‘rsatamiz.
2.2.1-teorema. Ixtiyoriy to‘rtinchi tartibli gruppa Z₄ va K₄ gruppalardan biriga izomorf.
Isbot. Aytaylik, G = {e, a, b, c} to‘rtinchi tartibli gruppa bo‘lib, u siklik ^{gruppa bo‘lsin, u holda G ∼}= ^{Z4. Demak, G siklik bo‘lmagan holni qarash,}
ya’ni siklik bo‘lmagan to‘rtinchi tartibli gruppani K₄ ga izomorf ekanligini ko‘rsatish kifoya. G gruppa siklik bo‘lmaganligi uchun uning to‘rtinchi tar- tibli elementi mavjud emas. Ixtiyoriy elementning tartibi gruppaning tartibi bo‘luvchisi bo‘lganligi uchun a, b, c elementlarning tartiblari 2 ga teng bo‘ladi, ya’ni a² = b² = c² = e. Endi a · b elementning c ga tengligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik a · b = e bo‘lsin, u holda a = a · e = a · (a · b) = a² · b = b tenglikdan a = b ekanligini hosil qilamiz, bu esa ziddiyat, demak a · b /= e. Agar a · b = a bo‘lsa ham e = a · a = a · (a · b) = a² · b = b tenglikdan e = b ekanligini hosil qilib, yana ziddiyatga kelamiz, ya’ni a · b /= a. Xuddi shunga o‘xshab a · b /= b ham kelib chiqadi, demak, a · b = c. Yuqoridagi kabi b · a = c tenglikni ham ko‘rsatish mumkin. Bundan tashqari
a · c = c · a = b, b · c = c · b = a
tengliklar ham shu usul bilan ko‘rsatiladi. Bu esa, to‘rtinchi tartibli ixtiyoriy siklik bo‘lmagan gruppa K₄ ga izomorf ekanligini bildiradi.
Endi oltinchi tartibli gruppalarni o‘rganamiz. Ma’lumki, Z₆ siklik gruppa va S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasi oltinchi tartibli gruppalar bo‘ladi. Ta’kidlash joizki, S₃ siklik bo‘lmagan nokommutativ gruppadir, shuning uchun Z₆ va S₃

gruppalar izomorf emas. Bundan tashqari S₃ eng kichik tartibli nokommutativ gruppadir. Quyidagi teoremada izomorfizm aniqligida faqat 2 ta oltinchi tartibli gruppa mavjud ekanligini ko‘rsatamiz.