Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2.2.2-misol.
- 2.2.3-misol.
- 2.2.1-ta’rif.
- 2.2.4-misol.
- 2.2.3-teorema.
- 2.2.5-misol.
2.2.1-misol. Ikkita a, b hosil qiluvchi elementlarga ega bo‘lib,
ord(a) = 2, ord(b) = n, b · a = a · b−1 bo‘lgan Dn = ⟨a, b⟩ gruppa n-darajali diedr gruppasi deyiladi, bu yerda n ≥ 3. Ta’kidlash joizki, Dn gruppa tartibi 2n ga teng bo‘lgan nokommutativ gruppa bo‘lib, uning elementlari quyidagilardan iborat Dn = {e, b, b2, . . . , bn−1, a, a · b, a · b2, . . . , a · bn−1}. Ma’lumki, D3 oltinchi tartibli gruppa bo‘lib, D3 ∼= S3 bo‘ladi. D4 esa sakkisinchi tartibli nokommutativ gruppa hamda D4 gruppaning elementlari 2 3 2 3 {e, b, b , b , a, ab, ab , ab } bo‘lib, a2 = b4 = e, ba = ab3, b2a = ab2, b3a = ab. Demak, ord(a) = ord(b2) = ord(ab) = ord(ab2) = ord(ab3) = 2, ord(b) = ord(b3) = 4. Quyidagi misolda GL2(R) ikkinchi tartibli teskarilanuvchi kvadrat mat- ritsalar gruppasining D4 gruppaga izomorf bo‘lgan qism gruppasi mavjudligini ko‘rsatamiz. 2.2.2-misol. Aytaylik, G ⊆ GL2(R) quyidagi matritsalardan hosil qilunivchi gruppa bo‘lsin A = 0 1 , B = 0 1 . 1 0 −1 0 U holda ord(A) = 2 va ord(B) = 4. Bundan tashqari BA = 0 1 0 1 = 1 0 −1 0 1 0 va 0 −1 AB3 = 0 1 0 −1 = 1 0 . 1 0 1 0 0 −1 Demak, BA = AB3, bundan esa, G gruppa 4-tartibli diedr gruppasi bo‘lishi kelib chiqadi. Endi S4 o‘rin almashtirishlar gruppasining 4-tartibli diedr qism gruppasini ko‘rsatamiz. 2.2.3-misol. S4 gruppaning a = (24) va b = (1234) elementlarini qaraylik. Ma’lumki, a2 = e, b2 = (13) ◦ (24), b3 = (1432), b4 = e, b ◦ a = a ◦ b3. Bundan esa, G = ⟨a, b⟩ gruppa 4-tartibli diedr gruppasi ekanligi kelib chiqadi. Endi D4 diedr gruppasining barcha qism gruppalarini aniqlaymiz. Lagranj teoremasiga ko‘ra, D4 ning xos qism gruppalarining tartibi faqat 2 va 4 ga teng bo‘lishi mumkin. Tekshirish qiyin emaski, H1 = {e, a}, H2 = {e, b2}, H3 = {e, a · b}, H4 = {e, a · b2}, H5 = {e, a · b3} gruppalar D4 ning tartibi 2 ga teng qism gruppalari bo‘ladi. Uning tartibi 4 ga teng qism bo‘lgan qism gruppalari esa quyidagilardan iborat: T1 = {e, b, b2, b3}, T2 = {e, a, b2, a · b2}, T3 = {e, a · b, b2, a · b3}. Endi yana bir tartibi 8 ga teng bo‘lgan gruppa Q8 kvaternion gruppasini qaraymiz. 2.2.1-ta’rif. Hosil qiluvchi elementlari a, b bo‘lib, ord(a) = 4, a2 = b2 va b · a = a3 · b bo‘lgan G gruppaga kvaternion gruppasi deyiladi. Boshqacha aytganda, kvaternion gruppasi {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k} element- lardan tashkil topib, i2 = j2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j shartlarni qanoatlantiruvchi gruppadir. Quyidagi misolda matritsalar gruppasining Q8 gruppaga izomorf bo‘lgan qism gruppasini ko‘rsatamiz. 2.2.4-misol. Aytaylik, G ⊆ GL2(C) quyidagi matritsalardan hosil qilunivchi gruppa bo‘lsin A = 0 1 va B = 0 i . BA = 0 i 0 1 = −i 0 i 0 −1 0 0 i va 1 0 i 0 A3B = 0 −1 0 i = −i 0 . 0 i Ya’ni, BA = A3B, demak G = ⟨A, B⟩ kvaternion gruppasi. Kvaternion gruppasi elementlarining umimiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘lib, Q8 = {e, a, a2, a3, b, a · b, a2 · b, a3 · b}, ord(a2) = 2 va ord(a) = ord(a3) = ord(b) = ord(a·b) = ord(a2·b) = ord(a3·b) = 4. Endi Q8 gruppaning barcha qism gruppalarini aniqlaymiz. Ta’kidlash joizki, uning xos qism gruppalari quyidagilardan iborat: H1 = {e, a2}, H2 = {e, a, a2, a3}, H3 = {e, a · b, a2, a3 · b}, H4 = {e, b, a2, a2 · b}. Bunda [Q8 : H2] = [Q8 : H3] = [Q8 : H4] = 2 bo‘lganligi uchun H2, H3 va H4 qism gruppalar Q8 ning normal bo‘luvchilari bo‘ladi. Bundan tashqari, H1 ning ham normal qism gruppa bo‘lishini tekshirish qiyin emas. Demak, Q8 kvater- nion gruppasining ixtiyoriy qism gruppasi normal bo‘lar ekan. Ushbu teoremada izomorfizm aniqligida D4 va Q8 dan boshqa tartibi 8 ga teng bo‘lgan nokommu- tativ grupppa mavjud emasligini isbotlaymiz. 2.2.3-teorema. Izomorfizm aniqligida tartibi 8 ga teng bo‘lgan 2 ta nokommutativ gruppa mavjud. Isbot. Biz yuqorida D4 va Q8 gruppalarning tartibi 8 ga teng bo‘lgan nokom- mutativ grupppalar ekanligini aytib o‘tdik. Bundan tashqari Q8 gruppada tartibi 4 ga teng bo‘lgan elementlar 6 ta bo‘lsa, D4 gruppada esa bunday elementlar 2 tani tashkil qiladi. Demak, D4 va Q8 gruppalar izomorf emas. Endi tartibi 8 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy G nokommutativ gruppani olaylik. |G| ∈ juft son bo‘lganligi uchun, G da tartibi 2 ga teng bo‘lgan u G element mavjud, ya’ni u2 = e. Ma’lumki, G gruppaning qolgan elementlari tartibi 2, 4 va 8 ga teng bo‘lishi mumkin. Agar gruppaning ixtiyoriy elementi kvadrati e ga teng bo‘lsa, u holda G kommutativ gruppa bo‘ladi. Bundan tashqari, gruppada tartibi 8 ga teng element mavjud bo‘lsa, u holda G siklik bo‘ladi. Demak, G gruppada tartibi 4 ga teng bo‘lgan a ∈ G element mavjud. Aytaylik, H = {e, a, a2, a3} bo‘lsin, u holda [G : H] = 2 bo‘lganligi uchun H a G. Demak, b ∈/ H element uchun G = H ∪ Hb bo‘lib, H ∩ Hb = ∅. Ya’ni, G = {e, a, a2, a3, b, a · b, a2 · b, a3 · b} = ⟨a, b⟩. 2 3 H a G bo‘lganligi uchun b · a · b−1 ∈ H bo‘lib, bundan esa, b · a · b−1 element e, a, a va a elementlardan biriga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Quyida bu element e, a, a2 elementlarga teng bo‘lmasligini ko‘rsatamiz. Chunki, agar
Ya’ni har uchala holda ham ziddiyatga keldik. Demak, b · a · b−1 = a3 bo‘ladi, ya’ni b · a = a3 · b. 2 Bundan tashqari, |G/H| = 2 bo‘lganligi uchun ord(Hb) = 2 bo‘lib, b2 ∈ H ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi kabi b ham H ning 4 ta elementidan biriga teng bo‘lishi kerak. Agar b2 = a yoki b2 = a3 bo‘lsa, u holda ord(b) = 8 bo‘lib, G gruppa kommutativ bo‘lib qoladi. Bu esa, ziddiyat. Demak, b2 = e yoki b2 = a2 bo‘lishi kerak. Ushbu ikkala holda ham G = ⟨a, b⟩ gruppa nokommutativ gruppa bo‘lib, mos ravishda D4 va Q8 gruppalarga izomorf bo‘ladi. 2.2.5-misol. D4 gruppaning markazini toping. Yechish. Ma’lumki, ixtiyoriy gruppaning markazi uning qism gruppasi bo‘lib, D4 gruppa oltita D4, {e}, H2 = {e, b2}, T1 = {e, b, b2, b3}, T2 = {e, a, b2, a · b2} va T3 = {e, a · b, b2, a · b3} normal qism gruppaga ega. Shuning uchun Z(D4) markaz ushbu oltita qism gruppalardan biriga teng bo‘ladi. a · b b · a, ekanligidan a, b ∈/ Z(D4) kelib chiqadi. Demak, Z(D4) markaz D4, T1 va T2 qism gruppalarga teng emas. Agar a·b ∈ Z(D4) bo‘lsa, u holda b = a·(a·b) = (a·b)·a = (b3·a)·a = b3 bo‘lib, b2 = e hosil bo‘ladi. Bu esa ziddiyat, demak Z(D4) /= T3. Ushbu b2 · a = b · (b · a) = b · (a · b3) = a · b6 = a · b2 tenglikdan b2 elementning a bilan o‘rin almashishi kelib chiqadi. Bundan esa, b2 ∈ Z(D4) ekanligini ko‘rish qiyin emas, demak, Z(D4) = {e, b2}. Q
|
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling