Abstrakt algebra

2.2.1-misol. Ikkita a, b hosil qiluvchi elementlarga ega bo‘lib,
ord(a) = 2, ord(b) = n, b · a = a · b⁻¹
bo‘lgan D_n = ⟨a, b⟩ gruppa n-darajali diedr gruppasi deyiladi, bu yerda n ≥ 3. Ta’kidlash joizki, D_n gruppa tartibi 2n ga teng bo‘lgan nokommutativ gruppa bo‘lib, uning elementlari quyidagilardan iborat
D_n = {e, b, b², . . . , bⁿ⁻¹, a, a · b, a · b², . . . , a · bⁿ⁻¹}.


^{Ma’lumki, D3 oltinchi tartibli gruppa bo‘lib, D3 ∼}= ^{S3 bo‘ladi. D4 esa} sakkisinchi tartibli nokommutativ gruppa hamda D₄ gruppaning elementlari

2 3 2 3
{e, b, b , b , a, ab, ab , ab }
bo‘lib, a² = b⁴ = e, ba = ab³, b²a = ab², b³a = ab. Demak,
ord(a) = ord(b²) = ord(ab) = ord(ab²) = ord(ab³) = 2, ord(b) = ord(b³) = 4. Quyidagi misolda GL₂(R) ikkinchi tartibli teskarilanuvchi kvadrat mat-
ritsalar gruppasining D₄ gruppaga izomorf bo‘lgan qism gruppasi mavjudligini ko‘rsatamiz.
2.2.2-misol. Aytaylik, G ⊆ GL₂(R) quyidagi matritsalardan hosil qilunivchi gruppa bo‘lsin
A = ^{0 1} , B = ^{0 1} .
1 0 −1 0
U holda ord(A) = 2 va ord(B) = 4. Bundan tashqari
_{BA =} 0 1 0 1 ₌ 1 0

−1 0 1 0
va
0 −1

_{AB3 =} 0 1 0 −1 ₌ 1 0 _.

1 0 1 0
0 −1

Demak, BA = AB³, bundan esa, G gruppa 4-tartibli diedr gruppasi bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi S₄ o‘rin almashtirishlar gruppasining 4-tartibli diedr qism gruppasini ko‘rsatamiz.
2.2.3-misol. S₄ gruppaning a = (24) va b = (1234) elementlarini qaraylik. Ma’lumki,
a² = e, b² = (13) ◦ (24), b³ = (1432), b⁴ = e, b ◦ a = a ◦ b³.
Bundan esa, G = ⟨a, b⟩ gruppa 4-tartibli diedr gruppasi ekanligi kelib chiqadi.
Endi D₄ diedr gruppasining barcha qism gruppalarini aniqlaymiz. Lagranj teoremasiga ko‘ra, D₄ ning xos qism gruppalarining tartibi faqat 2 va 4 ga teng bo‘lishi mumkin. Tekshirish qiyin emaski,
H₁ = {e, a}, H₂ = {e, b²}, H₃ = {e, a · b}, H₄ = {e, a · b²}, H₅ = {e, a · b³}
gruppalar D₄ ning tartibi 2 ga teng qism gruppalari bo‘ladi. Uning tartibi 4 ga teng qism bo‘lgan qism gruppalari esa quyidagilardan iborat:
T₁ = {e, b, b², b³},

T₂ = {e, a, b², a · b²},
T₃ = {e, a · b, b², a · b³}.
Endi yana bir tartibi 8 ga teng bo‘lgan gruppa Q₈ kvaternion gruppasini qaraymiz.
2.2.1-ta’rif. Hosil qiluvchi elementlari a, b bo‘lib,
ord(a) = 4, a² = b² va b · a = a³ · b
bo‘lgan G gruppaga kvaternion gruppasi deyiladi.
Boshqacha aytganda, kvaternion gruppasi {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k} element- lardan tashkil topib, i² = j² = k² = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j shartlarni qanoatlantiruvchi gruppadir.
Quyidagi misolda matritsalar gruppasining Q₈ gruppaga izomorf bo‘lgan qism gruppasini ko‘rsatamiz.
2.2.4-misol. Aytaylik, G ⊆ GL₂(C) quyidagi matritsalardan hosil qilunivchi gruppa bo‘lsin
A = ^{0 1} va B = ^{0 i} .

U holda ord(A) = 4 va


Bundan tashqari,
−1 0 i 0




A² = B² = ^{−1 0} .
0 −1

BA = ^{0 i}
_{0 1} = _{−i 0}

i 0 −1 0 0 i
va

1 0

i 0
_{A3B =} 0 −1 0 i
= _{−i 0} .

0 i
Ya’ni, BA = A³B, demak G = ⟨A, B⟩ kvaternion gruppasi.
Kvaternion gruppasi elementlarining umimiy ko‘rinishi quyidagicha bo‘lib,
Q₈ = {e, a, a², a³, b, a · b, a² · b, a³ · b},
ord(a²) = 2 va ord(a) = ord(a³) = ord(b) = ord(a·b) = ord(a²·b) = ord(a³·b) = 4. Endi Q₈ gruppaning barcha qism gruppalarini aniqlaymiz. Ta’kidlash joizki,
uning xos qism gruppalari quyidagilardan iborat:
H₁ = {e, a²}, H₂ = {e, a, a², a³},

H₃ = {e, a · b, a², a³ · b}, H₄ = {e, b, a², a² · b}.
Bunda [Q₈ : H₂] = [Q₈ : H₃] = [Q₈ : H₄] = 2 bo‘lganligi uchun H₂, H₃ va H₄ qism gruppalar Q₈ ning normal bo‘luvchilari bo‘ladi. Bundan tashqari, H₁ ning ham normal qism gruppa bo‘lishini tekshirish qiyin emas. Demak, Q₈ kvater- nion gruppasining ixtiyoriy qism gruppasi normal bo‘lar ekan. Ushbu teoremada izomorfizm aniqligida D₄ va Q₈ dan boshqa tartibi 8 ga teng bo‘lgan nokommu- tativ grupppa mavjud emasligini isbotlaymiz.
2.2.3-teorema. Izomorfizm aniqligida tartibi 8 ga teng bo‘lgan 2 ta nokommutativ gruppa mavjud.
Isbot. Biz yuqorida D₄ va Q₈ gruppalarning tartibi 8 ga teng bo‘lgan nokom- mutativ grupppalar ekanligini aytib o‘tdik. Bundan tashqari Q₈ gruppada tartibi 4 ga teng bo‘lgan elementlar 6 ta bo‘lsa, D₄ gruppada esa bunday elementlar 2 tani tashkil qiladi. Demak, D₄ va Q₈ gruppalar izomorf emas.
Endi tartibi 8 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy G nokommutativ gruppani olaylik. |G|

∈
juft son bo‘lganligi uchun, G da tartibi 2 ga teng bo‘lgan u G element mavjud, ya’ni u² = e. Ma’lumki, G gruppaning qolgan elementlari tartibi 2, 4 va 8 ga teng bo‘lishi mumkin. Agar gruppaning ixtiyoriy elementi kvadrati e ga teng bo‘lsa, u holda G kommutativ gruppa bo‘ladi. Bundan tashqari, gruppada tartibi 8 ga teng element mavjud bo‘lsa, u holda G siklik bo‘ladi. Demak, G gruppada tartibi 4 ga teng bo‘lgan a ∈ G element mavjud.
Aytaylik, H = {e, a, a², a³} bo‘lsin, u holda [G : H] = 2 bo‘lganligi uchun
H a G. Demak, b ∈/ H element uchun G = H ∪ Hb bo‘lib, H ∩ Hb = ∅. Ya’ni,
G = {e, a, a², a³, b, a · b, a² · b, a³ · b} = ⟨a, b⟩.

2 3
H a G bo‘lganligi uchun b · a · b⁻¹ ∈ H bo‘lib, bundan esa, b · a · b⁻¹ element e, a, a va a elementlardan biriga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Quyida bu element e, a, a² elementlarga teng bo‘lmasligini ko‘rsatamiz. Chunki, agar

• 
  b · a · b⁻¹ = e bo‘lsa, u holda a = e,
  
• 
  b · a · b⁻¹ = a bo‘lsa, u holda a · b = b · a, ya’ni G kommutativ,
  
• 
  b · a · b⁻¹ = a² bo‘lsa, u holda a² = e.
  

Ya’ni har uchala holda ham ziddiyatga keldik. Demak, b · a · b⁻¹ = a³ bo‘ladi, ya’ni b · a = a³ · b.

2
Bundan tashqari, |G/H| = 2 bo‘lganligi uchun ord(Hb) = 2 bo‘lib, b² ∈ H ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi kabi b ham H ning 4 ta elementidan biriga teng bo‘lishi kerak. Agar b² = a yoki b² = a³ bo‘lsa, u holda ord(b) = 8 bo‘lib, G gruppa kommutativ bo‘lib qoladi. Bu esa, ziddiyat. Demak, b² = e yoki b² = a²


bo‘lishi kerak. Ushbu ikkala holda ham G = ⟨a, b⟩ gruppa nokommutativ gruppa bo‘lib, mos ravishda D₄ va Q₈ gruppalarga izomorf bo‘ladi.
2.2.5-misol. D₄ gruppaning markazini toping.
Yechish. Ma’lumki, ixtiyoriy gruppaning markazi uning qism gruppasi bo‘lib, D₄ gruppa oltita D₄, {e}, H₂ = {e, b²}, T₁ = {e, b, b², b³}, T₂ = {e, a, b², a · b²} va T₃ = {e, a · b, b², a · b³} normal qism gruppaga ega. Shuning uchun Z(D₄) markaz
ushbu oltita qism gruppalardan biriga teng bo‘ladi. a · b b · a, ekanligidan
a, b ∈/ Z(D₄) kelib chiqadi. Demak, Z(D₄) markaz D₄, T₁ va T₂ qism gruppalarga teng emas. Agar a·b ∈ Z(D₄) bo‘lsa, u holda b = a·(a·b) = (a·b)·a = (b³·a)·a = b³ bo‘lib, b² = e hosil bo‘ladi. Bu esa ziddiyat, demak Z(D₄) /= T₃. Ushbu
b² · a = b · (b · a) = b · (a · b³) = a · b⁶ = a · b²
tenglikdan b² elementning a bilan o‘rin almashishi kelib chiqadi. Bundan esa,
b² ∈ Z(D₄) ekanligini ko‘rish qiyin emas, demak, Z(D₄) = {e, b²}. Q

1.