Abstrakt algebra

3.1.1-misol. Tartibi p² ga teng bo‘lgan siklik bo‘lmagan abel gruppasi Z_p ⊕ Z_p
ga izomorf bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar G siklik bo‘lmagan abel gruppasi uchun
|G| = p² bo‘lsa, u holda G gruppaning 0 dan farqli barcha elementlarining tartibi p
ga teng bo‘ladi. Ixtiyoriy noldan farqli a ∈ G element uchun 3.1.1-lemmaga ko‘ra,
shunday B qism gruppa topilib, G = ⟨a⟩ ⊕ B. Endi |B| = ^|G| = p ekanligidan B

^{Z ⊕}= _p
qism gruppaning ham siklikligi kelib chiqadi. Demak, G ^∼ |⟨a⟩| Z .
p
Quyidagi teoremada tartibi p^k ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasini ya- gona ravishda siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida yozish mumkinligini isbotlaymiz.
3.1.3-teorema. Aytaylik, G chekli abel gruppasi bo‘lib, |G| = p^k bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli.

1. 
   G gruppa siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida
   

G = G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_r
kabi ifodalanadi, bu yerda |G₁||G₂| . . . |G_r| = p^k.

2. 
   Agar G gruppaning G = G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_r va G = H₁ ⊕ H₂ ⊕ · · · ⊕ H_s yoyil- malari mavjud bo‘lib, |G₁| ≤ |G₂| ≤ · · · ≤ |G_r| va |H₁| ≤ |H₂| ≤ · · · ≤ |H_s| bo‘lsa, u holda s = r va |H_i| = |G_i|, 1 ≤ i ≤ r bo‘ladi.
   

Isbot. 1) Chekli abel gruppasi uchun |G| = p^k ekanligidan 3.1.1-lemmaga ko‘ra tartibi maksimal bo‘lgan a ∈ G element uchun G = ⟨a⟩ ⊕ B munosabat o‘rinli. O‘z navbatida B gruppa uchun ham |B| = p^l, l < k bo‘lganligi uchun B = ⟨b⟩ ⊕ C yoyilma mavjud. G gruppa chekli bo‘lganligi uchun, induktiv tarzda uni chekli sondagi ⟨a⟩, ⟨b⟩, . . . , ⟨c⟩ siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanishi kelib chiqadi.
2) Dastlab s = r ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun
G[p] = {a ∈ G | pa = 0}

to‘plamni qaraymiz. Ushbu to‘plam ham G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Tartibi p^ci ga teng bo‘lgan G_i siklik qism gruppalar uchun |G_i[p]| = p tenglik o‘rinli, chunki G_i[p] to‘plam noldan farqli ixtiyoriy elementining tartibi p ga teng

^{bo‘lgan siklik qism gruppadir, ya’ni Gi[p] ∼}= ^{Zp. Demak, biz}
|G[p]| = |(G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_r)[p]| = |G₁[p] ⊕ G₂[p] ⊕ · · · ⊕ G_r[p]|
= |G₁[p]| + |G₂[p]| + · · · + |G_r[p]| = rp
tenglikka ega bo‘lamiz. Ikkinchi tomondan esa,
|G[p]| = |(H₁ ⊕ H₂ ⊕ · · · ⊕ H_s)[p]| = |H₁[p]| + |H₂[p]| + · · · + |H_s[p]| = sp.
Bundan s = r ekanligi kelib chiqadi.
Endi |G₁| ≤ |G₂| ≤ · · · ≤ |G_r| va |H₁| ≤ |H₂| ≤ · · · ≤ |H_s| bo‘lsa, |H_i| = |G_i|
ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, |G_i| = p^ci va |H_i| = p^di bo‘lib,
c₁ = d₁, c₂ = d₂, . . . , c_j−1 = d_j−1, c_j /= d_j
bo‘lsin. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda c_j < d_j deb olish mumkin. U holda c₁ ≤ c₂ ≤ · · · ≤ c_j ≤ · · · ≤ c_r ekanligini hisobga olsak, p^cj G_i = 0, 1 ≤ i ≤ j. Demak,
p^cj G = p^cj (G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_r) = G_j+1 ⊕ G_j+2 ⊕ · · · ⊕ G_r.
Ikkinchi tomondan esa, p^cj H_i = 0, 1 ≤ i ≤ j − 1 ekanligidan
p^cj G = p^cj (H₁ ⊕ H₂ ⊕ · · · ⊕ H_r) = H_j ⊕ H_j+1 ⊕ H_j+2 ⊕ · · · ⊕ H_r.
Ya’ni, p^cj G gruppa bir tomondan r − j − 1 ta, ikkinchi tomondan esa r − j ta siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalandi. Bu esa, teoremaning birinchi qismida isbotlangan s = r ekanligiga zid. Demak, |H_i| = |G_i|.
Quyidagi misolda tartibi 8 ga teng bo‘lgan abel gruppalarining tasnifini kelti- ramiz.
3.1.2-misol. Tartibi 8 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasi Z₈, Z₄ ⊕ Z₂ va
Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ gruppalardan biriga izomorf bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, agar G gruppada ord(a) = 8 bo‘lgan element mavjud bo‘lsa, u ^{holda G ∼}= ^{Z8. Agar G gruppaning barcha elementlari uchun ord(a) < 8 bo‘lsa, u}
holda uning noldan farqli elementlari tartibi 4 yoki 2 ga teng bo‘ladi. Gruppaning tartibi 4 ga teng elementi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu a ∈ G element tartibi ^{eng katta bo‘lgan element bo‘lib, G = ⟨a⟩ ⊕ B bo‘ladi, ya’ni G ∼}= ^{Z4 ⊕ Z2. Agar}
G gruppaning noldan farqli barcha elementlari uchun ord(a) = 2 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a ∈ G, a /= 0 element uchun G = ⟨a⟩⊕B bo‘lib, |B| = 4 bo‘lganligi uchun o‘z navbatida B qism gruppa ham B = C ⊕ D yoyilmaga ega bo‘ladi. Demak,
^{G ∼}= ^{Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2.}



n_i
Shunday qilib, tartibi pⁿ ga teng bo‘lgan abel gruppasi G = G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_k kabi tartibi p ga teng bo‘lgan siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanar ekan. Agar |G_i| = n_i sonlari uchun n₁ ≤ n₂ ≤ · · · ≤ n_k bo‘lsa, u holda n₁, n₂, . . . , n_k sonlari G gruppaning invariantlari deb ataladi. Yig‘indisi n ga teng bo‘lgan turli n₁, n₂, . . . , n_k invariantlarga turli abel gruppalari mos keladi. Demak, tartibi pⁿ ga teng bo‘lgan abel gruppalarining soni, turli invariantlarning soniga teng. Boshqacha qilib aytganda, tartibi pⁿ ga teng bo‘lgan abel gruppalarining soni n sonini n₁ ≤ n₂ ≤ · · · ≤ n_k sonlarining yig‘indisi ko‘rinishida n = n₁ + n₂ +
· · · + n_k kabi ifodalashlar soniga teng.
Yuqoridagi teorema va lemmalardan foydalanib, chekli abel gruppalarining tuzilishi va tasnifi haqida to‘liq ma’lumot beruvchi teoremani keltiramiz.
3.1.4-teorema. Ixtiyoriy chekli abel gruppasi siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Agar G chekli abel gruppasi uchun
|G| = p^k1 p^k2 . . . p^kr

bo‘lsa, u holda

1. 
   2 r
   

1 ≤ c_1,1 ≤ c_1,2 ≤ · · · ≤ c_1,t1 , c_1,1 + c_1,2 + · · · + c_1,t1 = k₁,

1 ≤ c_2,1 ≤ c_2,2 ≤ · · · ≤ c_2,t2 , c_2,1 + c_2,2 + · · · + c_2,t2 = k₂,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 ≤ c_r,1 ≤ c_r,2 ≤ · · · ≤ c_r,tr , c_r,1 + c_r,2 + · · · + c_r,tr = k_r
shartni qanoatlantiruvchi

M
G =
i=1
t<sub>i

M</sub>
j=1


^Gi,j
, bu yerda G_i,j = ⟨a_i,j⟩, ord(a_i,j) = p^ci,j

i
yoyilma bir qiymatli aniqlanadi.
Isbot. Ixtiyoriy chekli gruppa primar komponentalarning yig‘indisi shaklida

ifodalanganligi uchun |G| = p^k1 p^k2 . . . p^kr
gruppani

1 2 r
r

i
G = ^M G_i, |G_i| = p^ki
i=1
kabi ifodalash mumkin. 3.1.3-teoremaga ko‘ra esa, G_i gruppalar siklik gruppalar- ning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Demak, G_i,j siklik gruppalar topilib,

G_i =

G_i,j bo‘ladi, bu yerda
_Lt_i

j=1




Y
t_i
p^ki = |G_i,j|, 1 ≤ i ≤ r.
j=1

i

_L
Demak, ord(a_i,j) = |G_i,j| = p^ci,j
elementlar topilib, G_i,j = ⟨a_i,j⟩ bo‘ladi, ya’ni

L
r
G =
i=1
t_i


j=1
^Gi,j ^.

L

_L
Endi ushbu yoyilmaning teoremada berilgan shartlar asosida yagona ekan-

ligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, G =
|H_i,j| = p^di,j va
_r′ i=1
_t′_i


j=1
^Hi,j
yoyilma mavjud bo‘lib,

1 ≤ d_1,1 ≤ d_1,2 ≤ · · · ≤ d_1,t^′₁ , d_1,1 + d_1,2 + · · · + d_1,t^′₁ = k₁,

1 ≤ d_2,1 ≤ d_2,2 ≤ · · · ≤ d_2,t^′₂ , d_2,1 + d_2,2 + · · · + d_2,t^′₂ = k₂,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 ≤ d_r^′_,1 ≤ d_r^′_,2 ≤ · · · ≤ d_r^′_,tr^′ _′ , d_r^′_,1 + d_r^′_,2 + · · · + d_r^′_,t^′_r′ = k_r^′
bo‘lsin. U holda har bir p_i tub soni uchun primar komponentalarni alohida hisoblasak, r ta G(p_i) komponentalar hosil bo‘lib, r^′ = r ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari,
^ti ^t′i
G(p_i) = ^M G_i,j = ^M H_i,j

ekanligidan

j=1
j=1

1 ≤ c_i,1 ≤ c_i,2 ≤ · · · ≤ c_i,tj ,
1 ≤ d_i,1 ≤ d_i,2 ≤ · · · ≤ d_i,t^′_j ,
munosabatlarni hisobga olsak, 3.1.3-teoremaga ko‘ra t^′_j


= t_j va d_i,j = c_i,j bo‘ladi.

Demak, 3.1.4-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy chekli abel gruppasi siklik gruppalar-

1

2

k
^{ning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanib, G ∼}= ^{Zpn1 ⊕ Zpn2 ⊕ · · · ⊕ Zpn}k ^{bo‘ladi, bu}
yerda p_i tub sonlar bo‘lib, ularning orasida o‘zaro tenglari ham bo‘lishi mumkin.

Ushbu pⁿ¹ , pⁿ² , . . . , p^nk
sonlari G gruppaning elementar bo‘luvchilari deb ata-

^{1 2} k
ladi. Endi elementar bo‘luvchilarni quyidagi tartibda joylashtirib chiqamiz:

1

1

1
p^n1,1 , p^n1,2 , p^n1,3 , . . . n_1,1 ≥ n_1,2 ≥ n_1,3 ≥ . . .

2

2

2
p^n2,1 , p^n2,2 , p^n2,3 , . . . n_2,1 ≥ n_2,2 ≥ n_2,3 ≥ . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k

k

k
p^nk,1 , p^nk,2 , p^nk,3 , . . . n_k,1 ≥ n_k,2 ≥ n_k,3 ≥ . . .

Agar ushbu qatorlarning uzunliklari maksimumi s ga teng bo‘lsa, qolganlarini birlar bilan to‘ldirgan holda, barchasining uzunligi bir xil deb, ya’ni s ga teng deb olish mumkin. U holda

k

2

1
m_j = p^n1,j p^n2,j . . . p^nk,j , 1 ≤ j ≤ s

sonlari uchun m_j+1 | m_j munosabat o‘rinli bo‘lib, |G| = m₁m₂ . . . m_s bo‘ladi. Ushbu (m₁, m₂, . . . , m_s) sonlari esa G gruppaning invariant faktorlari deb ata- ladi.

i
Agar G_j = ⟨a_1,j⟩ ⊕ ⟨a_2,j⟩ ⊕ · · · ⊕ ⟨a_k,j⟩ deb olsak, bu yerda ord(a_i,j) = p^ni,j .
U holda p₁, p₂, . . . , p_k sonlari tub sonlar bo‘lganligi uchun, G_j gruppa ham sik- lik bo‘lib, |G_j| = m_j bo‘ladi. Shunday qilib, biz G gruppani tartibi invariant faktorlarga teng bo‘lgan abel gruppalarning to‘gri yig‘indisi shaklida ifodalash mumkinligini hosil qildik.