Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3.1.3-teorema.
- 3.1.2-misol.
- 3.1.4-teorema.
3.1.1-misol. Tartibi p2 ga teng bo‘lgan siklik bo‘lmagan abel gruppasi Zp ⊕ Zp
ga izomorf bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar G siklik bo‘lmagan abel gruppasi uchun |G| = p2 bo‘lsa, u holda G gruppaning 0 dan farqli barcha elementlarining tartibi p ga teng bo‘ladi. Ixtiyoriy noldan farqli a ∈ G element uchun 3.1.1-lemmaga ko‘ra, shunday B qism gruppa topilib, G = ⟨a⟩ ⊕ B. Endi |B| = |G| = p ekanligidan B Z ⊕= p qism gruppaning ham siklikligi kelib chiqadi. Demak, G ∼ |⟨a⟩| Z . p Quyidagi teoremada tartibi pk ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasini ya- gona ravishda siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida yozish mumkinligini isbotlaymiz. 3.1.3-teorema. Aytaylik, G chekli abel gruppasi bo‘lib, |G| = pk bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli.
G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gr kabi ifodalanadi, bu yerda |G1||G2| . . . |Gr| = pk.
Isbot. 1) Chekli abel gruppasi uchun |G| = pk ekanligidan 3.1.1-lemmaga ko‘ra tartibi maksimal bo‘lgan a ∈ G element uchun G = ⟨a⟩ ⊕ B munosabat o‘rinli. O‘z navbatida B gruppa uchun ham |B| = pl, l < k bo‘lganligi uchun B = ⟨b⟩ ⊕ C yoyilma mavjud. G gruppa chekli bo‘lganligi uchun, induktiv tarzda uni chekli sondagi ⟨a⟩, ⟨b⟩, . . . , ⟨c⟩ siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanishi kelib chiqadi. 2) Dastlab s = r ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun G[p] = {a ∈ G | pa = 0} to‘plamni qaraymiz. Ushbu to‘plam ham G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Tartibi pci ga teng bo‘lgan Gi siklik qism gruppalar uchun |Gi[p]| = p tenglik o‘rinli, chunki Gi[p] to‘plam noldan farqli ixtiyoriy elementining tartibi p ga teng bo‘lgan siklik qism gruppadir, ya’ni Gi[p] ∼= Zp. Demak, biz |G[p]| = |(G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gr)[p]| = |G1[p] ⊕ G2[p] ⊕ · · · ⊕ Gr[p]| = |G1[p]| + |G2[p]| + · · · + |Gr[p]| = rp tenglikka ega bo‘lamiz. Ikkinchi tomondan esa, |G[p]| = |(H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hs)[p]| = |H1[p]| + |H2[p]| + · · · + |Hs[p]| = sp. Bundan s = r ekanligi kelib chiqadi. Endi |G1| ≤ |G2| ≤ · · · ≤ |Gr| va |H1| ≤ |H2| ≤ · · · ≤ |Hs| bo‘lsa, |Hi| = |Gi| ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, |Gi| = pci va |Hi| = pdi bo‘lib, c1 = d1, c2 = d2, . . . , cj−1 = dj−1, cj /= dj bo‘lsin. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda cj < dj deb olish mumkin. U holda c1 ≤ c2 ≤ · · · ≤ cj ≤ · · · ≤ cr ekanligini hisobga olsak, pcj Gi = 0, 1 ≤ i ≤ j. Demak, pcj G = pcj (G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gr) = Gj+1 ⊕ Gj+2 ⊕ · · · ⊕ Gr. Ikkinchi tomondan esa, pcj Hi = 0, 1 ≤ i ≤ j − 1 ekanligidan pcj G = pcj (H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hr) = Hj ⊕ Hj+1 ⊕ Hj+2 ⊕ · · · ⊕ Hr. Ya’ni, pcj G gruppa bir tomondan r − j − 1 ta, ikkinchi tomondan esa r − j ta siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalandi. Bu esa, teoremaning birinchi qismida isbotlangan s = r ekanligiga zid. Demak, |Hi| = |Gi|. Quyidagi misolda tartibi 8 ga teng bo‘lgan abel gruppalarining tasnifini kelti- ramiz. 3.1.2-misol. Tartibi 8 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasi Z8, Z4 ⊕ Z2 va Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 gruppalardan biriga izomorf bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar G gruppada ord(a) = 8 bo‘lgan element mavjud bo‘lsa, u holda G ∼= Z8. Agar G gruppaning barcha elementlari uchun ord(a) < 8 bo‘lsa, u holda uning noldan farqli elementlari tartibi 4 yoki 2 ga teng bo‘ladi. Gruppaning tartibi 4 ga teng elementi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu a ∈ G element tartibi eng katta bo‘lgan element bo‘lib, G = ⟨a⟩ ⊕ B bo‘ladi, ya’ni G ∼= Z4 ⊕ Z2. Agar G gruppaning noldan farqli barcha elementlari uchun ord(a) = 2 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a ∈ G, a /= 0 element uchun G = ⟨a⟩⊕B bo‘lib, |B| = 4 bo‘lganligi uchun o‘z navbatida B qism gruppa ham B = C ⊕ D yoyilmaga ega bo‘ladi. Demak, G ∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2. ni Shunday qilib, tartibi pn ga teng bo‘lgan abel gruppasi G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gk kabi tartibi p ga teng bo‘lgan siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanar ekan. Agar |Gi| = ni sonlari uchun n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ nk bo‘lsa, u holda n1, n2, . . . , nk sonlari G gruppaning invariantlari deb ataladi. Yig‘indisi n ga teng bo‘lgan turli n1, n2, . . . , nk invariantlarga turli abel gruppalari mos keladi. Demak, tartibi pn ga teng bo‘lgan abel gruppalarining soni, turli invariantlarning soniga teng. Boshqacha qilib aytganda, tartibi pn ga teng bo‘lgan abel gruppalarining soni n sonini n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ nk sonlarining yig‘indisi ko‘rinishida n = n1 + n2 + · · · + nk kabi ifodalashlar soniga teng. Yuqoridagi teorema va lemmalardan foydalanib, chekli abel gruppalarining tuzilishi va tasnifi haqida to‘liq ma’lumot beruvchi teoremani keltiramiz. 3.1.4-teorema. Ixtiyoriy chekli abel gruppasi siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Agar G chekli abel gruppasi uchun |G| = pk1 pk2 . . . pkr bo‘lsa, u holda
1 ≤ c1,1 ≤ c1,2 ≤ · · · ≤ c1,t1 , c1,1 + c1,2 + · · · + c1,t1 = k1, 1 ≤ c2,1 ≤ c2,2 ≤ · · · ≤ c2,t2 , c2,1 + c2,2 + · · · + c2,t2 = k2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ≤ cr,1 ≤ cr,2 ≤ · · · ≤ cr,tr , cr,1 + cr,2 + · · · + cr,tr = kr shartni qanoatlantiruvchi M G = i=1 ti M j=1 Gi,j , bu yerda Gi,j = ⟨ai,j⟩, ord(ai,j) = pci,j i yoyilma bir qiymatli aniqlanadi. Isbot. Ixtiyoriy chekli gruppa primar komponentalarning yig‘indisi shaklida ifodalanganligi uchun |G| = pk1 pk2 . . . pkr gruppani 1 2 r r i G = M Gi, |Gi| = pki i=1 kabi ifodalash mumkin. 3.1.3-teoremaga ko‘ra esa, Gi gruppalar siklik gruppalar- ning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Demak, Gi,j siklik gruppalar topilib, Gi = Gi,j bo‘ladi, bu yerda Lti j=1 Y ti pki = |Gi,j|, 1 ≤ i ≤ r. j=1 i L Demak, ord(ai,j) = |Gi,j| = pci,j elementlar topilib, Gi,j = ⟨ai,j⟩ bo‘ladi, ya’ni L r G = i=1 ti j=1 Gi,j . L L Endi ushbu yoyilmaning teoremada berilgan shartlar asosida yagona ekan- ligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, G = |Hi,j| = pdi,j va r′ i=1 t′i j=1 Hi,j yoyilma mavjud bo‘lib, 1 ≤ d1,1 ≤ d1,2 ≤ · · · ≤ d1,t′1 , d1,1 + d1,2 + · · · + d1,t′1 = k1, 1 ≤ d2,1 ≤ d2,2 ≤ · · · ≤ d2,t′2 , d2,1 + d2,2 + · · · + d2,t′2 = k2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ≤ dr′,1 ≤ dr′,2 ≤ · · · ≤ dr′,tr′ ′ , dr′,1 + dr′,2 + · · · + dr′,t′r′ = kr′ bo‘lsin. U holda har bir pi tub soni uchun primar komponentalarni alohida hisoblasak, r ta G(pi) komponentalar hosil bo‘lib, r′ = r ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ti t′i G(pi) = M Gi,j = M Hi,j ekanligidan j=1 j=1 1 ≤ ci,1 ≤ ci,2 ≤ · · · ≤ ci,tj , 1 ≤ di,1 ≤ di,2 ≤ · · · ≤ di,t′j , munosabatlarni hisobga olsak, 3.1.3-teoremaga ko‘ra t′j = tj va di,j = ci,j bo‘ladi. Demak, 3.1.4-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy chekli abel gruppasi siklik gruppalar- 1 2 k ning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanib, G ∼= Zpn1 ⊕ Zpn2 ⊕ · · · ⊕ Zpnk bo‘ladi, bu yerda pi tub sonlar bo‘lib, ularning orasida o‘zaro tenglari ham bo‘lishi mumkin. Ushbu pn1 , pn2 , . . . , pnk sonlari G gruppaning elementar bo‘luvchilari deb ata- 1 2 k ladi. Endi elementar bo‘luvchilarni quyidagi tartibda joylashtirib chiqamiz: 1 1 1 pn1,1 , pn1,2 , pn1,3 , . . . n1,1 ≥ n1,2 ≥ n1,3 ≥ . . . 2 2 2 pn2,1 , pn2,2 , pn2,3 , . . . n2,1 ≥ n2,2 ≥ n2,3 ≥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k k k pnk,1 , pnk,2 , pnk,3 , . . . nk,1 ≥ nk,2 ≥ nk,3 ≥ . . . Agar ushbu qatorlarning uzunliklari maksimumi s ga teng bo‘lsa, qolganlarini birlar bilan to‘ldirgan holda, barchasining uzunligi bir xil deb, ya’ni s ga teng deb olish mumkin. U holda k 2 1 mj = pn1,j pn2,j . . . pnk,j , 1 ≤ j ≤ s sonlari uchun mj+1 | mj munosabat o‘rinli bo‘lib, |G| = m1m2 . . . ms bo‘ladi. Ushbu (m1, m2, . . . , ms) sonlari esa G gruppaning invariant faktorlari deb ata- ladi. i Agar Gj = ⟨a1,j⟩ ⊕ ⟨a2,j⟩ ⊕ · · · ⊕ ⟨ak,j⟩ deb olsak, bu yerda ord(ai,j) = pni,j . U holda p1, p2, . . . , pk sonlari tub sonlar bo‘lganligi uchun, Gj gruppa ham sik- lik bo‘lib, |Gj| = mj bo‘ladi. Shunday qilib, biz G gruppani tartibi invariant faktorlarga teng bo‘lgan abel gruppalarning to‘gri yig‘indisi shaklida ifodalash mumkinligini hosil qildik. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling