Abstrakt algebra

3.1.1-teorema. G abel gruppasi uchun quyidagilar o‘rinli:

1. 
   T (G) qism gruppa.
   
2. 
   T (G/T (G)) = {0}, ya’ni G/T (G) gruppa buralishga ega bo‘lmagan gruppa bo‘ladi.
   

Isbot. 1) Aytaylik, a, b ∈ T (G) bo‘lsin, u holda ord(a) = r va ord(b) = s,
ya’ni ra = 0, sb = 0 bo‘lib,


rs(a + b) = s(ra) + r(sb) = 0, r(−a) = −ra = 0
tengliklardan a + b ∈ T (G) va −a ∈ T (G) ekanligi kelib chiqadi. Demak, T (G)
qism gruppa.
2) Ixtiyoriy a + T (G) ∈ T (G/T (G)) element olsak, bu elementning tartibi chekli bo‘lganligi uchun
s(a + T (G)) = sa + T (G) = T (G)
bo‘lib, bundan sa ∈ T (G) ekanligi kelib chiqadi. U holda ord(sa) = r bo‘lib, (rs)a = r(sa) = 0 ekanligidan a ∈ T (G). Bu esa a + T (G) = T (G), ya’ni T (G/T (G)) = {0} ekanligini anglatadi.
Endi tartibi p tub sonining biror darajasidan iborat bo‘lgan elementlar to‘plamini, ya’ni
G(p) = {g ∈ G | ord(g) = p^k, k ≥ 1}
to‘plamni qaraymiz. Ushbu G(p) to‘plam ham G gruppaning qism gruppasi bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Chunki, agar a, b ∈ G(p) bo‘lsa, u holda ord(a) = p^s, ord(b) = p^m, ya’ni p^sa = 0, p^mb = 0. Agar t = max{s, m} deb olsak, u holda


p^t(a + b) = p^ta + p^tb = 0, p^s(−a) = −p^sa = 0,

tengliklardan a + b, −a ∈ G(p) ekanligi kelib chiqadi. Ushbu G(p) qism gruppalar

primar komponentalar deb ataladi.
Agar gruppa o‘zining davriy qismi bilan ustma-ust tushsa, ya’ni T (G) = G bo‘lsa, u holda u davriy gruppa deyiladi. Boshqacha aytganda, davriy gruppa ixtiyoriy elementining tartibi chekli bo‘lgan gruppadir.

M
3.1.2-teorema. Ixtiyoriy davriy gruppa primar komponentalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi, ya’ni
G = G(p).
p


Isbot. Ixtiyoriy a ∈ G element olsak, u holda ord(a) < ∞. Aytaylik, ord(a) =

p

1

2

r

i

k_i
i
n = p^k1 p^k2 . . . p^kr bo‘lsin. Quyidagi belgilashni kiritamiz n = ⁿ , 1 ≤ i ≤ r.

i
Ta’kidlash joizki, n_ia ∈ G(p_i), chunki, p^ki (n_ia) = na = 0. Bundan tashqari, ushbu
n_i sonlari o‘zaro tub bo‘lganligi uchun t₁, t₂, . . . , t_r butun sonlari topilib,
t₁n₁ + t₂n₂ + · · · + t_rn_r = 1.
U holda a elementni quyidagicha yozish mumkin

a = 1 · a =
r

_Σ
i=1


t_in_i
· a =
Σi=1


t_i(n_ia),

r
bu yerda n_ia ∈ G(p_i). Demak, G gruppaning ixtiyoriy elementi G(p_i) qism grup- palar elementlarining yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanadi.
Endi q ∈/ {p₁, p₂, . . . , p_k} uchun G(q) ∩ (G(p₁) + G(p₂) + · · · + G(p_k)) = 0

1

2

k
ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy b ∈ G(p₁) + G(p₂) + · · · + G(p_k) element olsak, u holda ord(b) = p^s1 p^s2 . . . p^sk, s_i ≥ 0 bo‘ladi. G(q) gruppa esa, tartibi q sonining
darajalaridan iborat elementlardan tashkil topgan, hamda q ∈/ {p₁, p₂, . . . , p_k}

L
bo‘lganligi uchun G(q) ∩ (G(p₁) + G(p₂) + · · · + G(p_k)) = 0 kelib chiqadi. Demak,
G = G(p).
p
Biz endi chekli abel gruppalarini batafsilroq o‘rganamiz. Ta’kidlash joizki,
ixtiyoriy chekli gruppa davriy gruppa bo‘ladi, ya’ni chekli gruppalar uchun T (G) = G shart o‘rinli. Demak, 3.1.2-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy chekli abel grup- pasi ham primar komponentalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Ya’ni

1

2

r
G chekli abel gruppasi uchun |G| = p^k1 p^k2 . . . p^kr
bo‘lsa, u holda

G = G(p₁) ⊕ G(p₂) ⊕ · · · ⊕ G(p_r)
yoyilma o‘rinli, bu yerda |G(p_i)| = p^ri. Bundan tashqari, ushbu yoyilma qo‘shiluvchilarning o‘rnini almashtirish aniqligida yagona bo‘ladi. Ya’ni agar

i
G = B₁ ⊕ B₂ ⊕ · · · ⊕ B_r bo‘lib, |B_i| = p^si bo‘lsa, u holda s_i = r_i va B_i = G(p_i)
bo‘ladi. Bu esa, chekli abel gruppalarini o‘rganish masalasi primar komponenta- larni o‘rganish masalasiga keltirilishini bildiradi. Demak, biz tartibi p^k (p – tub son) soniga teng bo‘lgan gruppalarni qarashimiz, ya’ni barcha elementining tartibi p sonining darajalaridan iborat bo‘lgan abel gruppalarini o‘rganamishimiz yetarli. Aytaylik, G gruppa uchun |G| = p^k bo‘lib, a ∈ G element tartibi eng katta bo‘lgan element bo‘lsin, ya’ni ∀b ∈ G uchun ord(a) ≥ ord(b). U holda ord(a) = p^s,
s ≤ k bo‘lib, s = k bo‘lgan holda G gruppa siklik bo‘ladi.
3.1.1-lemma. Aytaylik, G gruppa uchun |G| = p^k bo‘lib, a ∈ G element tartibi eng katta bo‘lgan element bo‘lsin. U holda shunday B ⊂ G qism gruppa mavjud bo‘lib, G = ⟨a⟩ ⊕ B yoyilma o‘rinli.
Isbot. Aytaylik, ord(a) = p^r bo‘lib, H qism gruppa H ∩ ⟨a⟩ = 0 shartni qanoatlantiruvchi maksimal qism gruppa bo‘lsin. Ushbu ⟨a⟩ va H qism grup- palarning to‘g‘ri yig‘indisini G₀ = H ⊕ ⟨a⟩ kabi belgilaymiz. Agar G₀ = G bo‘lsa, u holda B = H bo‘lib, lemmaning isboti kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, G₀ /= G bo‘lsin, u holda b ∈ G \ G₀ element mavjud bo‘lib, ord(b) = p^s, 1 ≤ s ≤ r. Endi G\G₀ to‘plamdan tartibi minimal bo‘lgan x elementni tanlab olamiz, ya’ni x ∈ G \ G₀ bo‘lib, ∀b ∈ G \ G₀ uchun ord(x) ≤ ord(b).

p
Agar px elementni qarasak, u holda ord(px) = ^ord(x) ekanligidan va ord(x) ning
minimalligidan px ∈ G₀ ekanligi kelib chiqadi. U holda shunday l ∈ Z va y ∈ H

r

∈
elementlar topilib, px = la + y bo‘ladi. p soni gruppaning elementlari tartibla- rining eng kattasi bo‘lganligi uchun gruppaning ixtiyoriy c G elementi uchun p^rc = 0. Xususan, p^rx = 0, u holda biz quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz
0 = p^rx = p^r−1(px) = p^r−1(la + y) = p^r−1la + p^r−1y.

r−1 r
Bundan esa, p^r−1la = −p^r−1y ∈ ⟨a⟩⊕H ekanligi, ya’ni p^r−1la = 0 kelib chiqadi. Demak, p l soni p ga bo‘linadi, bu esa l soni p ga bo‘linishini anglatadi, ya’ni l = pt. Shunday qilib, biz px = la + y = pta + y ekanligini, ya’ni p(x − ta) = y bo‘lishini hosil qildik. Ushbu x − ta element H qism gruppada yotmaydi, chunki agar x − ta ∈ H bo‘lsa, u holda x ∈ ta + H bo‘lib, x ∈ G₀ ekanligi kelib chiqadi. Demak, ⟨x − ta⟩ ⊕ H qism gruppa H gruppadan kattaroq qism gruppa bo‘ladi. H gruppa H ∩ ⟨a⟩ = 0 shartni qanoatlantiruvchi maksimal qism gruppa bo‘lganligi uchun
⟨x − ta⟩ ⊕ H ∩ ⟨a⟩ = 0.
Demak, shunday k, m ∈ Z sonlari va z ∈ H element topilib, m(x − ta) + z =
ka /= 0 bo‘ladi. Bundan esa,
mx = (mt + k)a − z ∈ ⟨a⟩ ⊕ H = G₀

ekanligi kelib chiqadi.

Agar m soni p ga bo‘linsa, u holda p(x − ta) ∈ H ekanligidan m(x − ta) ∈ H
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa ziddiyat, chunki ka = m(x − ta) + z ∈/ H.
Agar m soni p ga bo‘linmasa, u holda shunday u, v butun sonlar topilib,
up + vm = 1 bo‘ladi. Endi px, mx ∈ G₀ ekanligini hisobga olib,
x = 1 · x = (up + vm)x = u(px) + v(mx) ∈ G₀


bo‘lishini hosil qilamiz. Bu esa G₀ G ekanligiga zid, demak, G = ⟨a⟩ ⊕ H.
Quyidagi misolda tartibi p² ga teng bo‘lgan siklik bo‘lmagan abel gruppalari- ning tasnifini keltiramiz.