Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3.1.2-teorema.
- 3.1.1-lemma.
3.1.1-teorema. G abel gruppasi uchun quyidagilar o‘rinli:
Isbot. 1) Aytaylik, a, b ∈ T (G) bo‘lsin, u holda ord(a) = r va ord(b) = s, ya’ni ra = 0, sb = 0 bo‘lib, rs(a + b) = s(ra) + r(sb) = 0, r(−a) = −ra = 0 tengliklardan a + b ∈ T (G) va −a ∈ T (G) ekanligi kelib chiqadi. Demak, T (G) qism gruppa. 2) Ixtiyoriy a + T (G) ∈ T (G/T (G)) element olsak, bu elementning tartibi chekli bo‘lganligi uchun s(a + T (G)) = sa + T (G) = T (G) bo‘lib, bundan sa ∈ T (G) ekanligi kelib chiqadi. U holda ord(sa) = r bo‘lib, (rs)a = r(sa) = 0 ekanligidan a ∈ T (G). Bu esa a + T (G) = T (G), ya’ni T (G/T (G)) = {0} ekanligini anglatadi. Endi tartibi p tub sonining biror darajasidan iborat bo‘lgan elementlar to‘plamini, ya’ni G(p) = {g ∈ G | ord(g) = pk, k ≥ 1} to‘plamni qaraymiz. Ushbu G(p) to‘plam ham G gruppaning qism gruppasi bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Chunki, agar a, b ∈ G(p) bo‘lsa, u holda ord(a) = ps, ord(b) = pm, ya’ni psa = 0, pmb = 0. Agar t = max{s, m} deb olsak, u holda pt(a + b) = pta + ptb = 0, ps(−a) = −psa = 0, tengliklardan a + b, −a ∈ G(p) ekanligi kelib chiqadi. Ushbu G(p) qism gruppalar primar komponentalar deb ataladi. Agar gruppa o‘zining davriy qismi bilan ustma-ust tushsa, ya’ni T (G) = G bo‘lsa, u holda u davriy gruppa deyiladi. Boshqacha aytganda, davriy gruppa ixtiyoriy elementining tartibi chekli bo‘lgan gruppadir. M 3.1.2-teorema. Ixtiyoriy davriy gruppa primar komponentalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi, ya’ni G = G(p). p Isbot. Ixtiyoriy a ∈ G element olsak, u holda ord(a) < ∞. Aytaylik, ord(a) = p 1 2 r i ki i n = pk1 pk2 . . . pkr bo‘lsin. Quyidagi belgilashni kiritamiz n = n , 1 ≤ i ≤ r. i Ta’kidlash joizki, nia ∈ G(pi), chunki, pki (nia) = na = 0. Bundan tashqari, ushbu ni sonlari o‘zaro tub bo‘lganligi uchun t1, t2, . . . , tr butun sonlari topilib, t1n1 + t2n2 + · · · + trnr = 1. U holda a elementni quyidagicha yozish mumkin a = 1 · a = r Σ i=1 tini · a = Σi=1 ti(nia), r bu yerda nia ∈ G(pi). Demak, G gruppaning ixtiyoriy elementi G(pi) qism grup- palar elementlarining yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanadi. Endi q ∈/ {p1, p2, . . . , pk} uchun G(q) ∩ (G(p1) + G(p2) + · · · + G(pk)) = 0 1 2 k ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy b ∈ G(p1) + G(p2) + · · · + G(pk) element olsak, u holda ord(b) = ps1 ps2 . . . psk, si ≥ 0 bo‘ladi. G(q) gruppa esa, tartibi q sonining darajalaridan iborat elementlardan tashkil topgan, hamda q ∈/ {p1, p2, . . . , pk} L bo‘lganligi uchun G(q) ∩ (G(p1) + G(p2) + · · · + G(pk)) = 0 kelib chiqadi. Demak, G = G(p). p Biz endi chekli abel gruppalarini batafsilroq o‘rganamiz. Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy chekli gruppa davriy gruppa bo‘ladi, ya’ni chekli gruppalar uchun T (G) = G shart o‘rinli. Demak, 3.1.2-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy chekli abel grup- pasi ham primar komponentalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Ya’ni 1 2 r G chekli abel gruppasi uchun |G| = pk1 pk2 . . . pkr bo‘lsa, u holda G = G(p1) ⊕ G(p2) ⊕ · · · ⊕ G(pr) yoyilma o‘rinli, bu yerda |G(pi)| = pri. Bundan tashqari, ushbu yoyilma qo‘shiluvchilarning o‘rnini almashtirish aniqligida yagona bo‘ladi. Ya’ni agar i G = B1 ⊕ B2 ⊕ · · · ⊕ Br bo‘lib, |Bi| = psi bo‘lsa, u holda si = ri va Bi = G(pi) bo‘ladi. Bu esa, chekli abel gruppalarini o‘rganish masalasi primar komponenta- larni o‘rganish masalasiga keltirilishini bildiradi. Demak, biz tartibi pk (p – tub son) soniga teng bo‘lgan gruppalarni qarashimiz, ya’ni barcha elementining tartibi p sonining darajalaridan iborat bo‘lgan abel gruppalarini o‘rganamishimiz yetarli. Aytaylik, G gruppa uchun |G| = pk bo‘lib, a ∈ G element tartibi eng katta bo‘lgan element bo‘lsin, ya’ni ∀b ∈ G uchun ord(a) ≥ ord(b). U holda ord(a) = ps, s ≤ k bo‘lib, s = k bo‘lgan holda G gruppa siklik bo‘ladi. 3.1.1-lemma. Aytaylik, G gruppa uchun |G| = pk bo‘lib, a ∈ G element tartibi eng katta bo‘lgan element bo‘lsin. U holda shunday B ⊂ G qism gruppa mavjud bo‘lib, G = ⟨a⟩ ⊕ B yoyilma o‘rinli. Isbot. Aytaylik, ord(a) = pr bo‘lib, H qism gruppa H ∩ ⟨a⟩ = 0 shartni qanoatlantiruvchi maksimal qism gruppa bo‘lsin. Ushbu ⟨a⟩ va H qism grup- palarning to‘g‘ri yig‘indisini G0 = H ⊕ ⟨a⟩ kabi belgilaymiz. Agar G0 = G bo‘lsa, u holda B = H bo‘lib, lemmaning isboti kelib chiqadi. Faraz qilaylik, G0 /= G bo‘lsin, u holda b ∈ G \ G0 element mavjud bo‘lib, ord(b) = ps, 1 ≤ s ≤ r. Endi G\G0 to‘plamdan tartibi minimal bo‘lgan x elementni tanlab olamiz, ya’ni x ∈ G \ G0 bo‘lib, ∀b ∈ G \ G0 uchun ord(x) ≤ ord(b). p Agar px elementni qarasak, u holda ord(px) = ord(x) ekanligidan va ord(x) ning minimalligidan px ∈ G0 ekanligi kelib chiqadi. U holda shunday l ∈ Z va y ∈ H r ∈ elementlar topilib, px = la + y bo‘ladi. p soni gruppaning elementlari tartibla- rining eng kattasi bo‘lganligi uchun gruppaning ixtiyoriy c G elementi uchun prc = 0. Xususan, prx = 0, u holda biz quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz 0 = prx = pr−1(px) = pr−1(la + y) = pr−1la + pr−1y. r−1 r Bundan esa, pr−1la = −pr−1y ∈ ⟨a⟩⊕H ekanligi, ya’ni pr−1la = 0 kelib chiqadi. Demak, p l soni p ga bo‘linadi, bu esa l soni p ga bo‘linishini anglatadi, ya’ni l = pt. Shunday qilib, biz px = la + y = pta + y ekanligini, ya’ni p(x − ta) = y bo‘lishini hosil qildik. Ushbu x − ta element H qism gruppada yotmaydi, chunki agar x − ta ∈ H bo‘lsa, u holda x ∈ ta + H bo‘lib, x ∈ G0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, ⟨x − ta⟩ ⊕ H qism gruppa H gruppadan kattaroq qism gruppa bo‘ladi. H gruppa H ∩ ⟨a⟩ = 0 shartni qanoatlantiruvchi maksimal qism gruppa bo‘lganligi uchun ⟨x − ta⟩ ⊕ H ∩ ⟨a⟩ = 0. Demak, shunday k, m ∈ Z sonlari va z ∈ H element topilib, m(x − ta) + z = ka /= 0 bo‘ladi. Bundan esa, mx = (mt + k)a − z ∈ ⟨a⟩ ⊕ H = G0 ekanligi kelib chiqadi. Agar m soni p ga bo‘linsa, u holda p(x − ta) ∈ H ekanligidan m(x − ta) ∈ H bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa ziddiyat, chunki ka = m(x − ta) + z ∈/ H. Agar m soni p ga bo‘linmasa, u holda shunday u, v butun sonlar topilib, up + vm = 1 bo‘ladi. Endi px, mx ∈ G0 ekanligini hisobga olib, x = 1 · x = (up + vm)x = u(px) + v(mx) ∈ G0 bo‘lishini hosil qilamiz. Bu esa G0 G ekanligiga zid, demak, G = ⟨a⟩ ⊕ H. Quyidagi misolda tartibi p2 ga teng bo‘lgan siklik bo‘lmagan abel gruppalari- ning tasnifini keltiramiz. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling