Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2.4.1-tasdiq.
- 2.4.2-tasdiq.
- 2.4.3-ta’rif.
- 2.4.2-misol.
2.4.2-teorema. Agar G gruppa H1, H2, . . . , Hn normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, u holda
G ∼= H1 × H2 × · · · × Hn, ya’ni G gruppa ushbu normal qism gruppalarining tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasiga izomorf bo‘ladi. Isbot. Ixtiyoriy g ∈ G element yagona ravishda g = h1h2 . . . hn, hi ∈ Hi ko‘rinishida ifodalanishidan foydalanib, f : G → H1 × H2 ×· · · × Hn akslantirishni f (g) = (h1, h2, . . . , hn) kabi aniqlaymiz. Ushbu akslantirishning to‘g‘ri aniqlanganligi va o‘zaro bir qiy- matli moslik ekanligini osongina ko‘rsatish mumkin. Endi ushbu akslantirishning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy a = a1a2 . . . an va b = b1b2 . . . bn elementlarni olamiz, bu yerda a, b ∈ G va ai, bi ∈ Ni. U holda Ni ∩ Nj = {e} bo‘lganligi uchun ai · bj = bj · aj bo‘lib, f (a · b) = f (a1a2 . . . an) · (b1b2 . . . bn) = f (a1b1a2b2 . . . anbn) = = (a1b1, a2b2, . . . anbn) = f (a) · f (b), ya’ni f gomomorfizm bo‘ladi. Demak, G ∼= H1 × H2 × · · · × Hn. Yuqoridagi teoremadan gruppalarning tashqi va ichki to‘g‘ri ko‘paytmalari bir xil xususiyatga ega ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun keyinchalik ularni farq- lamasdan gruppalarning, shunchaki to‘g‘ri ko‘paytma deb ishlatiladi. Quyida gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasiga doir ba’zi tasdiqlarni keltiramiz. 2.4.1-tasdiq. Aytaylik, G va G1 gruppalar va f : G → G1 gomomorfizm berilgan bo‘lsin. Agar H a G uchun f akslantirish H ni G1 ga o‘tkazuvchi izomorfizm bo‘lsa, u holda G = H × Kerf. Isbot. f (H) = G1 ekanligidan ixtiyoriy a ∈ G element uchun shunday h ∈ H element topilib, f (a) = f (h) bo‘lishi, ya’ni f (h−1 · a) = e1 ekanligi kelib chiqadi. Bu esa, h−1 · a ∈ Kerf ekanligini anglatadi. Bundan foydalanib, qandaydir b ∈ Kerf element uchun b = h−1 · a, ya’ni a = h · b deb yozish mumkin. Demak, G = H · Kerf ekanligini hosil qildik. Endi H ∩ Kerf = {e} bo‘lishini ko‘rsatamiz. Aytaylik a ∈ H ∩ Kerf bo‘lsin, u holda a ∈ Kerf ekanligidan f (a) = e1 = f (e) tenglik kelib chiqadi. a, e ∈ H va f |H : H → G1 akslantirishning o‘zaro bir qiymatliligidan a = e ekanligiga ega bo‘lamiz, ya’ni H ∩ Kerf = {e}. Demak, G = H × Kerf . 2.4.2-tasdiq. Aytaylik, G1, G2, . . . , Gn siklik gruppalar berilgan bo‘lib, |Gi| = mi bo‘lsin. G = G1 ×G2 ×· · ·×Gn gruppa siklik bo‘lishi uchun m1, m2, . . . , mn sonlari o‘zaro tub bo‘lishi zarur va yetarli. Isbot. Aytaylik, Gi = ⟨ai⟩ bo‘lib, ixtiyoriy i, j uchun (mi, mj) = 1 bo‘lsin. i (a1, a2, . . . , an)k = (e1, e2, . . . , en) ekanligidan ak = ei, 1 ≤ i ≤ n bo‘lishi, ya’ni k = miqi kelib chiqadi. (mi, mj) = 1 bo‘lganligi uchun k soni ya’ni (a1, a2, . . . , an) elementning tartibi m1m2 . . . mn soniga bo‘linishi kelib chiqadi. |G| = m1m2 . . . mn bo‘lganligi va ord (a1, a2, . . . , an) = m1m2 . . . mn ekanligidan G = ⟨(a1, a2, . . . , an)⟩ kelib chiqadi. Agar qandaydir i, j uchun (mi, mj) = d > 1 bo‘lsa, u holda p = EKUK(m1, m2, . . . , mn) < m1m2 . . . mn bo‘lib, ∀gi ∈ Gi uchun (g1, g2, . . . , gn)p = (gp, gp, . . . , gp) = (e1, e2, . . . , en) 1 2 n bo‘ladi. Ya’ni G gruppa ixtiyoriy elementining tartibi m1m2 . . . mn = |G| sonidan kichik bo‘ladi. Bundan esa, G gruppaning siklik emasligi kelib chiqadi. Endi gruppa uning ikkita qism gruppalari yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanishi ta’rifini keltiramiz. Yarim to‘g‘ri ko‘paytmaning to‘g‘ri ko‘paytmadan farqli tomoni shundaki, bunda qism gruppalardan biri normal bo‘lishi shart emas. 2.4.3-ta’rif. Agar G gruppaning H va K qism gruppalari berilgan bo‘lib, quyidagi shartlar bajarilsa: 1) H normal qism gruppa, 2) H ∩ K = {e}, 3) G = HK, u holda G gruppa H va K qism gruppalarning yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi shak- lida ifodalanadi deyiladi va G = H 7 K kabi belgilanadi. Ta’kidlash joizki, ushbu ta’rifdagi 2) va 3) sahrtlarni G gruppaning ixtiyoriy elementi yagona ravishda h · k, h ∈ H, k ∈ K ko‘rinishida ifodalanish sharti bilan almashtirish mumkin. Bundan tashqari, chekli gruppalar uchun |G| = |H||K| tenglik o‘rinli bo‘ladi. 2.4.2-misol. Ushbu misolda ba’zi qism gruppalarning yarim to‘g‘ri ko‘paytmalarini keltiramiz:
Agar G = H 7 K bo‘lsa, u holda G/H ∼= K ekanligini ko‘rish qiyin emas. Lekin teskarisi har doim ham o‘rinli bo‘lavermaydi, ya’ni G gruppaning ixtiyoriy H normal qism gruppasi uchun G/H faktor gruppaga izomorf bo‘lgan K gruppa har doim ham mavjud bo‘lavermaydi. Masalan, G = Z va H = 2Z deb olsak, u holda Z/2Z gruppaga izomorf bo‘ladigan qism gruppa mavjud emas.
A × B ∼= C × D ekanligini isbotlang.
Z(G1 × G2 × · · · × Gn) = Z(G1) × Z(G2) × · · · × Z(Gn). ekanligini isbotlang.
G/K ∼= H va G/H ∼= K ekanligini isbotlang.
G = HK va H ∩ K = N bo‘lsa, u holda G/N ∼= H/N × K/N ekanligini isbotlang.
Z8, Z12, Z15, Z20, S3, D3, (Z, +), (Q, +)
Z12, Z18, Z30, Z60.
Z2 × S3, Z2 × Z6, Z12.
Z8, Z4 × Z2, Z2 × Z2 × Z2.
Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling