Abstrakt algebra

2.4.2-teorema. Agar G gruppa H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, u holda
^{G ∼}= ^{H1 × H2 × · · · × Hn,}
ya’ni G gruppa ushbu normal qism gruppalarining tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasiga izomorf bo‘ladi.
Isbot. Ixtiyoriy g ∈ G element yagona ravishda g = h₁h₂ . . . h_n, h_i ∈ H_i
ko‘rinishida ifodalanishidan foydalanib, f : G → H₁ × H₂ ×· · · × H_n akslantirishni
f (g) = (h₁, h₂, . . . , h_n)

kabi aniqlaymiz. Ushbu akslantirishning to‘g‘ri aniqlanganligi va o‘zaro bir qiy- matli moslik ekanligini osongina ko‘rsatish mumkin. Endi ushbu akslantirishning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz.

Ixtiyoriy a = a₁a₂ . . . a_n va b = b₁b₂ . . . b_n elementlarni olamiz, bu yerda a, b ∈ G va a_i, b_i ∈ N_i. U holda N_i ∩ N_j = {e} bo‘lganligi uchun a_i · b_j = b_j · a_j bo‘lib,
f (a · b) = f (a₁a₂ . . . a_n) · (b₁b₂ . . . b_n) = f (a₁b₁a₂b₂ . . . a_nb_n) =
= (a₁b₁, a₂b₂, . . . a_nb_n) = f (a) · f (b),
^{ya’ni f gomomorfizm bo‘ladi. Demak, G ∼}= ^{H1 × H2 × · · · × Hn.}
Yuqoridagi teoremadan gruppalarning tashqi va ichki to‘g‘ri ko‘paytmalari bir xil xususiyatga ega ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun keyinchalik ularni farq- lamasdan gruppalarning, shunchaki to‘g‘ri ko‘paytma deb ishlatiladi.
Quyida gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasiga doir ba’zi tasdiqlarni keltiramiz.
2.4.1-tasdiq. Aytaylik, G va G₁ gruppalar va f : G → G₁ gomomorfizm berilgan bo‘lsin. Agar H a G uchun f akslantirish H ni G₁ ga o‘tkazuvchi izomorfizm bo‘lsa, u holda G = H × Kerf.
Isbot. f (H) = G₁ ekanligidan ixtiyoriy a ∈ G element uchun shunday h ∈ H element topilib, f (a) = f (h) bo‘lishi, ya’ni f (h⁻¹ · a) = e₁ ekanligi kelib chiqadi. Bu esa, h⁻¹ · a ∈ Kerf ekanligini anglatadi. Bundan foydalanib, qandaydir b ∈ Kerf element uchun b = h⁻¹ · a, ya’ni a = h · b deb yozish mumkin. Demak, G = H · Kerf ekanligini hosil qildik. Endi H ∩ Kerf = {e} bo‘lishini ko‘rsatamiz. Aytaylik a ∈ H ∩ Kerf bo‘lsin, u holda a ∈ Kerf ekanligidan f (a) = e₁ = f (e) tenglik kelib chiqadi. a, e ∈ H va f |_H : H → G₁ akslantirishning o‘zaro bir qiymatliligidan a = e ekanligiga ega bo‘lamiz, ya’ni H ∩ Kerf = {e}. Demak, G = H × Kerf .


2.4.2-tasdiq. Aytaylik, G₁, G₂, . . . , G_n siklik gruppalar berilgan bo‘lib, |G_i| = m_i bo‘lsin. G = G₁ ×G₂ ×· · ·×G_n gruppa siklik bo‘lishi uchun m₁, m₂, . . . , m_n sonlari o‘zaro tub bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, G_i = ⟨a_i⟩ bo‘lib, ixtiyoriy i, j uchun (m_i, m_j) = 1 bo‘lsin.

i
(a₁, a₂, . . . , a_n)^k = (e₁, e₂, . . . , e_n) ekanligidan a^k = e_i, 1 ≤ i ≤ n bo‘lishi,

ya’ni k = m_iq_i kelib chiqadi. (m_i, m_j) = 1 bo‘lganligi uchun k soni ya’ni (a₁, a₂, . . . , a_n) elementning tartibi m₁m₂ . . . m_n soniga bo‘linishi kelib chiqadi.
|G| = m₁m₂ . . . m_n bo‘lganligi va ord (a₁, a₂, . . . , a_n) = m₁m₂ . . . m_n ekanligidan
G = ⟨(a₁, a₂, . . . , a_n)⟩ kelib chiqadi.
Agar qandaydir i, j uchun (m_i, m_j) = d > 1 bo‘lsa, u holda p =
EKUK(m₁, m₂, . . . , m_n) < m₁m₂ . . . m_n bo‘lib, ∀g_i ∈ G_i uchun
(g₁, g₂, . . . , g_n)^p = (g^p, g^p, . . . , g^p) = (e₁, e₂, . . . , e_n)
1 2 n


bo‘ladi. Ya’ni G gruppa ixtiyoriy elementining tartibi m₁m₂ . . . m_n = |G| sonidan kichik bo‘ladi. Bundan esa, G gruppaning siklik emasligi kelib chiqadi.
Endi gruppa uning ikkita qism gruppalari yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanishi ta’rifini keltiramiz. Yarim to‘g‘ri ko‘paytmaning to‘g‘ri ko‘paytmadan farqli tomoni shundaki, bunda qism gruppalardan biri normal bo‘lishi shart emas.
2.4.3-ta’rif. Agar G gruppaning H va K qism gruppalari berilgan bo‘lib, quyidagi shartlar bajarilsa:
1) H normal qism gruppa,
2) H ∩ K = {e},
3) G = HK,
u holda G gruppa H va K qism gruppalarning yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi shak- lida ifodalanadi deyiladi va G = H 7 K kabi belgilanadi.
Ta’kidlash joizki, ushbu ta’rifdagi 2) va 3) sahrtlarni G gruppaning ixtiyoriy elementi yagona ravishda h · k, h ∈ H, k ∈ K ko‘rinishida ifodalanish sharti bilan almashtirish mumkin. Bundan tashqari, chekli gruppalar uchun |G| = |H||K| tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2.4.2-misol. Ushbu misolda ba’zi qism gruppalarning yarim to‘g‘ri ko‘paytmalarini keltiramiz:

• 
  S_n = A_n 7 ⟨(1, 2)⟩, ya’ni o‘rin almashtirishlar gruppasi, juft o‘rin al- mashtirishlar gruppasi va ikkinchi tartibli ⟨(1, 2)⟩ siklik gruppalarning yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi.
  

• 
  S₄ = K₄ 7 S₃, bu yerda K₄ = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} to‘rtinchi tar- tibli Kleyn gruppasi, S₃ esa, S₄ ning 4 ni o‘z joyida qoldiruvchi elementlaridan tashkil topgan qism gruppasi.
  
• 
  GL_n(R) = SL_n(R) 7 {diag(λ, 1, . . . , 1), λ 0}.
  

^{Agar G = H 7 K bo‘lsa, u holda G/H ∼}= ^{K ekanligini ko‘rish qiyin emas.} Lekin teskarisi har doim ham o‘rinli bo‘lavermaydi, ya’ni G gruppaning ixtiyoriy H normal qism gruppasi uchun G/H faktor gruppaga izomorf bo‘lgan K gruppa har doim ham mavjud bo‘lavermaydi. Masalan, G = Z va H = 2Z deb olsak, u holda Z/2Z gruppaga izomorf bo‘ladigan qism gruppa mavjud emas.

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      Quyidagi gruppalarning qaysilari siklik bo‘lishini aniqlang:
      
      • 
        Z₂ × Z₉.
        
      • 
        Z₆ × Z₉.
        
      • 
        Z₃ × Z₅ × Z₈.
        
      • 
        Z₄ × Z₅ × Z₁₂.
        
      • 
        Z₇ × Z₁₅ × Z₁₆.
        
   2. 
      Quyidagi gruppalarning siklik ekanligini ko‘rsating va barcha hosil qiluvchi elementlarini toping:
      
      • 
        Z₂ × Z₃.
        
      • 
        Z₅ × Z₆.
        
      • 
        Z₃ × Z₄ × Z₅.
        
      • 
        Z₂ × A₃.
        
   3. 
      G = A×B kommutativ bo‘lishi uchun A va B gruppalar kommutativ bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
      
   4. 
      ^{Agar A, B, C va D gruppalar uchun A ∼}= ^{C va B ∼}= ^{D bo‘lsa, u holda}
      

^{A × B ∼}= ^{C × D ekanligini isbotlang.}

5. 
   ^{Z2 × Z15 ∼}= ^{Z5 × Z6 ekanligini isbotlang.}
   
6. 
   ^{K4 ∼}= ^{Z2 × Z2 ekanligini isbotlang.}
   
7. 
   Ixtiyoriy G₁, G₂, . . . , G_n gruppalar uchun
   

Z(G₁ × G₂ × · · · × G_n) = Z(G₁) × Z(G₂) × · · · × Z(G_n).
ekanligini isbotlang.

8. 
   G gruppa H va K uning qism gruppalari bo‘lib, G = H × K bo‘lsa, u holda
   

^{G/K ∼}= ^{H va G/H ∼}= ^{K ekanligini isbotlang.}

9. 
   Aytaylik G gruppa H va K uning normal qism gruppalari bo‘lsin. Agar
   

^{G = HK va H ∩ K = N bo‘lsa, u holda G/N ∼}= ^{H/N × K/N ekanligini}
isbotlang.

10. 
    Quyidagi gruppalarning qiysilarini ikkita qism gruppasining to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalash mimkin:
    

Z₈, Z₁₂, Z₁₅, Z₂₀, S₃, D₃, (Z, +), (Q, +)

11. 
    Quyidagi gruppalarning mumkin bo‘lgan barcha to‘g‘ri yoyilmalarini toping:
    

Z₁₂, Z₁₈, Z₃₀, Z₆₀.

12. 
    Quyidagi gruppalarning qaysilari o‘zaro izomorf bo‘ladi:
    

Z₂ × S₃, Z₂ × Z₆, Z₁₂.

13. 
    Z₉ va Z₃ × Z₃ gruppalar izomorf emasligini ko‘rsating.
    
14. 
    Quyidagi gruppalarning o‘zaro izomorf emasligini ko‘rsating:
    

Z₈, Z₄ × Z₂, Z₂ × Z₂ × Z₂.

15. 
    Z₁₂ va Z₂ × Z₆ gruppalarning izomorf emasligini ko‘rsating.
    
16. 
    Z₂ × S₃ va A₄ gruppalarning izomorf emasligini ko‘rsating.
    
17. 
    Z₂ × S₃ va D₆ gruppalarning izomorfligini ko‘rsating va barcha izomorfizm- larni toping.
    
18. 
    ^{Isbotlang: Aut(Z2 × Z2) ∼}= ^S3.
    
19. 
    Aut(Z₂ × Z₃) ni toping.
    
20. 
    Aut(Z₂ × Z₄) ni toping.
    
21. 
    Aut(Z₃ × Z₄) ni toping.
    
22. 
    Aut(Z₃ × Z₃) ni toping.
    
23. 
    Aut(Z₂ × Z₅) ni toping.